5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей

Целью обратной задачи является определение погрешностей величин-аргументов, если известны погрешности функций и вид функциональной зави­симости. Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того или иного комплекса измерительной аппаратуры или метода определения искомой величины, позволяющих найти значение этой величины с определенной по­грешностью.

152

5. Оценка погрешностей результатов наблюдений

Обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение с к неизвестными. Иначе говоря, удовлетворить усло­вию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргу­ментов.^].

Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи оказывается возможным при использовании так называемого принципа равных влияний. Он заключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительное требование, чтобы все члены в правой части выражений (5.4) и (5.5) оказывали одинаковое влияние на погрешности функции.

Применяя принцип равных влияний к относительной погрешности функ­ции, определяемой соотношением (5.5), получим [2]

ш

(A* J = (д* J = .... = (A* j = ^ ^ъ' , (5.14)

А А =-рг. (5.15)

у/к

С учетом (5.3) легко получить выражение для определения абсолютных Ах; и относительных A_xf погрешностей всех аргументов:

Axj = .г. г г; (5.16)

д/k 31n[f(xj,x2,.-4xkJ

Э х[

А =—т= г- (5-17)

х-у/к dh\[f(x_l,x₂,...,x_k\'

ЭХ

.. 1и x₁,X₂,...,X_k

В дальнейшем могут иметь место три возможных случая:

значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точ­ности, доступной при измерениях с помощью имеющихся средств измере­ний;

значения некоторых погрешностей настолько малы, что обеспечить соответ­ствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представ­ляется возможным;

153

5. Оценка погрешностей результатов наблюдений

значения всех погрешностей малы, и обеспечить такую точность невозмож­но.

В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачу путем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозмож­ным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновре­менном уменьшении погрешностей остальных аргументов.

Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один вы­ход, связанный с поиском другого метода определения величины х. Этот выход является единственно возможным и для случая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с по­мощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При вы­боре другого метода измерений меняется вид функции y=f(X), а следователь­но, меняются аргументы и значения их погрешностей.

Пример 5.2. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d=20 мм и высотой h=50 мм с относительной погрешностью A_v*=0,01. Найдем погрешности измерения величин d и h, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена.

Учитывая, что объем цилиндра V = и приняв закон распределения нор-

4

мальным, с помощью соотношения (5.16) найдем

V2 Э1п(ж1 h/4)	A*v d = ±—j±— = ±0,07 mm; V2 2
dd
Ah = ±A^ \ V2 dh\(nd h/4)	A*V1 = ±—?=h = ±0,035 мм. -v/2

dh