5.1. Оценка погрешностей определения величин функций

При изложении материалов, касающихся оценки погрешностей результа­тов наблюдений, будем в дальнейшем придерживаться методологии решении этих задач, представленной в учебном пособии [2].

Необходимость в определении погрешности величин функций по извест­ным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценке точности результатов математического эксперимента, а также результатов так называемых косвенных измерений. Под косвенным измерением понимается та­кое, в результате которого значение искомой величины у рассчитывают по из­вестной зависимости ее от других величин х-i, х₂, ..., х_к, измеренных другим спо­собом, т.е.

у = f(xi, x 2 ,..., x i ,..., x k ), (5.1)

где х-i, х₂, ..., Xj,..., х_к - аргументы, определенные независимо друг от друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешности определения величины у обу­словлены лишь неточностью численных значений величин х^ х₂, ..., Xj,..., х_к, входящих под знак функции.

Обозначим истинное значение i-ro параметра через Xi, среднее значение

- через х{, а абсолютную погрешность его измерения - через Ах;. Разложим

функцию f(x-i, х₂, ..., х_к) в ряд Тейлора, сохраняя члены с нулевой и первыми степенями погрешностей:

f(x^,...,xi,...,x]_c) = f(xi,...,xj,...,x]_c)+ X

i=l

df(x\,...,x[,...,x]^y

j

дх[

•Ax i ,

Xj=Xj

где все производные

5f(xj,...,xj,...,x]_c)

вычислены при значениях х[ =х[

Xj=Xj

Тогда

149

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Лу

f(x\,...,x[,...,x^) -f(x\,...,x[,...,x^)

к

z

i=A

df(x\,...,x[,...,x]_L дх[

Дх_х

Xj=Xj

i=l

\

df(x\,...,x[,...,x]_L

Sxj

к

Axj = 21 Ay- , х;=х; i=l

где Ау^

df(x\,...,x]_L

9xj

xi

=4

Axj.

(5.2)

Следовательно, Ay - это составляющие погрешности функции, обуслов­ленные погрешностью i-ro аргумента х.

Доверительная вероятность, соответствующая величине Ау, численно равна доверительной вероятности, с которой найдена погрешность Ах.

Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используют выражение

Эх,

» 1 д f д ln(f) А„ = Ах = Ах

I ох

(5.3)

Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, так и систематических погрешностей.

Общая абсолютная (Ау_Е) и относительная (А_Е) погрешности определения функции могут быть найдены с помощью выражений

ЛУЕ=±

к i=l

(5.4)

Де* = ±

к г * \2

2^ [ ^yi i=l

(5.5)

Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон рас­пределения.

Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегда могут быть найдены аналитически. Часто не удается разрешить искомую зада­чу относительно искомой величины у в явном виде. В этих случаях полезно ис­пользовать численные методы определения производных.

150

5. Оценка погрешностей результатов наблюдений

Пример 5.1. Рассмотрим погрешность определения массового расхода газового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать, что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимае­мость потока равна единице.

Тогда с учетом выражения для определения массового расхода вещест­ва

G = aF_Qs^2p(p_x -р₂) = aF_Q£.yj2ph, (5.6)

где F₀ - площадь сужающего устройства; 8 - поправочный множитель на сжи­маемость вещества, расход которого измеряется (s =1); р - плотность потока перед сужающим устройством; h - перепад статического давления на сужаю­щем устройстве, а - коэффициент расхода.

Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующие формулы для расчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода:

AG = ±.

9G

~др

Ар

+

5G

dh

Ah

(5.7)

а; = ±.

/ \2

' о G Ар д р G

+

(dG Ah dh G

2

=

+

1

2 \

Ар

l Р J

2

+

Ah h

2

(5.8)

d G где - aF 08

2p ш V 2h

Учтем далее погрешности определения плотности потоков. В соответст­вии с уравнением состояния газа p=p/RT, где р и Т - соответственно абсолют­ное давление и температура газа перед сужающим устройством, R - универ­сальная газовая постоянная. Абсолютная погрешность определения плотности потока без учета погрешности газовой постоянной составит

Ар = ±

Sp. ^Л —^Ар

Эр

+

Эр

дТ

AT

(5.9)

Эр 1 Эр р

где = ; =

Эр RT ЭТ j^-p2

;

151

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

относительная погрешность

л* ^АР

р

+

^v2

V Р J

+

^АТ^

т

(5.10)

Тогда относительная погрешность определения массового расхода газо­вого потока будет

Д'о=±

1

2 \

Ар р

2

+

/ _Аф\2

Т

+

Ah h

2

(5.11)

Здесь р, Т, h - значения измеренных параметров; Ар, AT, Ah - их абсо­лютные погрешности. Численные значения Ар, AT, Ah определяются в основном инструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точ­ности используемых приборов для измерения р и h. Погрешность измерения Т определяется с учетом вида измерительного устройства температуры.

Абсолютная погрешность определения массового расхода газового пото-

ка

AG = GAq,

(5.12)

где G - значение расхода, измеренное экспериментально. Таким образом, ис­тинное значение расхода будет равно

G_ucm =G± AG.,

(5.13)