57. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы.

def

Пусть Е - евклидово пространство и - оператор, действующий в этом евклидовом пространстве. Тогда сопряженным оператором к наз. такой оператор

Th

Для любого оператора в евклидовом пространстве существует единственный сопряженный оператор.

Замечание!

- в ортонормированном базисе;

- в произвольном базисе,

где - матрица сопряженного оператора.

Свойства операции сопряжения

1)

2)

3)

4)

def

Оператор действующий в евклидовом пространстве V наз. самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. или

Замечание!

В ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора является симметрической.

Th( О собственных значениях самосопряженного оператора)

Все собственные значения самосопряженного оператора являются действительными.

58. Группы, кольца, поля.

def

Группой наз. множество G, для которого выполнены следующие аксиомы:

1) ассоциативность по сложению или умножению:

2) существование нейтрального элемента:

3) существование обратного элемента:

Группа наз. коммутативной, если

def

Кольцом наз. множество К на котором заданы две бинарные алгебраические операции сложения и умножения, и выполнены аксиомы:

0)

1) ассоциативность по сложению:

2) существование нейтрального элемента:

3) существование противоположного элемента:

4) коммутативность:

5) дистрибутивность:

Эти аксиомы являются обязательными. Если выполняются аксиомы:

6) ассоциативность по умножению, то кольцо наз. ассоциативным.

7) существование нейтрального элемента по умножению, то кольцо наз. кольцом с единицей.

8) коммутативность по умножению, то кольцо наз. коммутативным.

9) ,

то говорят, что в этом кольце все не нулевые элементы обратимы.

def

Поле - это ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый не нулевой элемент обратим.

Другими словами, поле - это множество, на котором заданы две алгебраические операции сложения и умножения, и выполняются аксиомы 0 - 9.

59. Гомоморфизм групп.

Множество g называется группой, если на этом множестве задана одна алгебраическая операция (сложения или умножения) и выполняются:

1. Замкнутость относительно введенной операции : для любых а и в є g: а*в є g.

2. Ассоциативность: для любых а, в, с є g: (а*в)*с=а*(в*с).

3. Существование единственного нейтрального элемента: существует e є g такое, что для любого а є g, а*е=е*а=а.

4. Существование обратного элемента: для любого а є g существует единственные элемент а^-1 , такой, что а*а^-1=а^-1*а=е.

Пусть H є G, тогда H будет называться подгруппой, если оно само образует группу относительно операций, введенных на группе G. Пусть g₁ и g₂ группы. Отображение называется гомоморфизмом, если для любого g₁ , h є g₁: , где * - операция из g₁, - операция из g₂. Гомоморфизм – это такое отображение, которое сохраняет операцию.

Свойства гомоморфизма: Пусть , тогда:

1. , где l₁ – нейтральный элемент группы g₁, l₂ –группы g₂.

2. Для любого g є g_1:

Ядром (ker ) гомоморфизма называется множество . Образом гомоморфизма называется множество: . Ядро гомоморфизма является подгруппой g₁, а образ – подгруппой группы g₂. Гомоморфизм является изоморфизмом тогда и т. т., к. его ядро тривиально, а образ совпадает с g₂: .

Th Первая th о гомоморф. Гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма.

Фактор-группа по ядру изоморфна образу.