87. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка та методы их решения.

def. линейное диф. уравнение 1-го порядка называется уравнение линейное относительно искомой функции и ее производной

(1)

Где и заданные непрерывные дифференциалы без особых точек функции от х или постоянные.

Если:

1 . - однородное уравнение 1го порядка

2. - неоднородное уравнение 1го порядка.

Метод подстановки.

Решение уравнения (1) ищется в виде:

(2)

Где одна из функций выбирается произвольным образом, а другая на основании уравнения (1)

(3)

Подставим (3) и (2) в (1)

(4)

Или

: (5)

(6)

Пусть С=1 т.к. нас устраивает любое не нулевое решение с учетом (5) уравнения (4) принемает вид

Получим общее решение уравнения (1)

Метод вариаций произвольной постоянной или метод Лагранжа

Рассмотрим уравнение (1). Соответствующие ему однородное уравнение имеет вид:

(7)

(8)

Уравнение (8) является общин решением уравнения (7)

Метод вариаций произвольных постоянных состоит в следующем, сначала находять общее решения соответствующего однородного уравнения . Затем, величина С входит в общее решение функции и определяет ее. В (8) положем

(9)

Для того чтобы подставить (9) в (1) необходимо его продифференцировать:

(10)

Подставим (9) и (10) в (1)

(11)

(12)

(13)

Подставляем (13) в (9) и получаем общее решение (1)

(14)

Это общее решение уравнения (1) т.е. общее решение соответствующего линейного однородного уравнения и частного не однородного уравнения полученного из (14), при .

88. Уравнения, что сводятся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Когда уравнение

(1)

не является уравнением в полых дифференциалах, т.е. ,удается подобрать некоторую функцию , такую что уравнение:

(2)

становится уравнением в полных дифференциалах. Общее решение полученного таким образом уравнения (2) совпадает с первоначальным решением уравнения (1). Функция - наз. интегрирующим множителем уравнения (1).

Для того, чтобы уравнение (2) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

(3) - уравнение в частных производных 1-го порядка с неизвестной функцией . Всякая функция удовлетворяющая уравнению (3) является интегрирующим множителем уравнения (1). Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удаётся найти :

1) Случай интегрирующего множителя, зависящего только от : , тогда и из (3) следует: - обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором - функция от . В противном случае интегрирующего множителя вида не существует.

2) Случай интегрирующего множителя, зависящего только от : , тогда и из (3) следует : - обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором - функция от . В противном случае интегрирующего множителя вида не существует.

3) Случай интегрирующего множителя вида . Тогда

. Если , то . Если , то _.