89. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.

Def: Система д.у. наз. линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производной. И имеет вид:

Th: Линейная комбинация

линейно независимых решений

Есть общее решение линейной однородной системы

Линейные однородные системы: метод Эйлера.

Рассмотрим однородную линейную систему: , (1)

Частные решение системы ищут в виде: (2), где - постоянные, которые надо определить так чтобы выражения (2) удовлетворяли системе (1)

Подставляяв систему (1) значения (2), сокращая на и собирая коэффициенты при получим систему алгебраических уравнений:

(3)

(3) – система n линейных однородных уравнений относительно . Для получения не тривиального решения системы (3) необходимо, чтобы (4)

Уравнение (4) наз. характеристическим уравнением системы (1), а его корни наз. корнями характеристического уравнения.

4. Все n корней характеристического уравнения действительны и различные.

Пусть эти корни будут . Если в (3) вместо поставить - один из корней характеристического уравнения, то определитель системы (4) будет = 0, из этого следует, что система (3) имеет отличные от нуля решения: .

Корню соответствуют частое решение системы (1). Применяя примененное рассуждение ко всем корням характеристического уравнения получим n часных решений системы.

Полное решение системы имеет вид:

5. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня: им будут соответствовать решения – это комплексные решения.

Отделяя в них вещественные и мнимые части получим два вещественных решения.

6. Среди корней уравнения есть кратные

А) Для кратного корня есть столько линейно независимых собственных векторов какова его кратность. В этом случае ищется общее решение системы (3) соответсвующий данному зависящее от такого количества произвольных постоянных, какова кратность корня.

Б) Если , тогда находят - степень многочлена. Чтобы найти неизвестные коэфициенты многочлена, надо подставить решение в исходную систему, приравнять коэфициенты подобных членов в левой и правой частяхуравнений. Получится система линейных алгебраических уравнений. Найти общее решение этой системы, которое должно зависеть от - произвольных постоянных. ( -кратность).

90. Стійкість розв’язків диф.Рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.

Основные понятия

Теорией устойчивости исследуются вопросы о похождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малые изменения решения.

Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений

где существуют и непрерывны и пусть есть решение этой системы, удовлетворяющей при условиям (2):

Def Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого решения ,той же системы (1),начальные значения которого удовлетворяют неравенствам:

То есть близкие по начальным значениям решения остаются близкими

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения называется не устойчивым.

Def Если решение не только устойчиво, но кроме того удовлитворяет условиям (4)

Если то решение называется асимптотически устойчевым. Вопрос об устойчивости решения системы (1) может быть сведен к вопросу об устойчивости нулевого решения : некоторой новой системы уравнений, получающейся из (1) линейной заменой искомых функций новые неизвестные функции, равные отклонением прежних неизвестных функций от функций , определяющих исследуемое решение. В дальнейшем будем считать, что на устойчивость исследуется именно нулевое решение

(расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений (5)

в применении к точке покоя условие устойчивости выглядит так точка покоя система (5)устойчива по Ляпунову, если

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траектории в окрестностях точек покоя системы

ищем решение в виде:

(2) подставляя (2)в (1) получаем характеристическое уравнение

с точностью до постоянного множителя определяются из одного или двух уравнений

(4)

Рассмотрим следующий случай:

1. действ. и различные числа если одного знака – значит это узел, если разных знаков- седло

2. если корни кратные и ненулевые то особая точка- вырожденный узел или дикритический узел

Причем дикритический узел имеет место только в случае системы

или уравнение во всех остальных случаях при особая точка является вырожденным узлом.

Второй метод Ляпунова

Пусть имеем веществ. функцию вещественных переменных непрерывную в область такую что обращающуюся в ноль , при

Def Функция называется знакопостоянной, если она принимает кроме нулевых значений только одного знака при достаточно большом и достаточно малом. Такие функции называются постоянно положительными при постоянно отрицательными является постоянно положительной(кроме нулевых она принимает только положительные значения). Если знакопостоянная функция v не зависит от t, а величина H может выбрана столь малой что v=0 только при ,то функция называется знакоопределенной

Теорема Ляпунова об устойчивости

Если дифференциальное уравнение (1) таковы что возможно найти знакоопределенную функцию v производная которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с vили тождественно равной O,то тривиальное решение устойчиво.

Def Если ограниченная функция как бы мало его не была , то говорят , что допускает бесконечно

Всякая независящая явно от t непрерывная функция t допускает бесконечно малый , и производная , составляют в силу системы (1) является знакопеременной функцией противоположного знака, то тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Def Назовем областью v=0 какую-нибудь область окрестности начальная координата пространства переменных ограниченного поверхностью