48. Полная и средняя кривизна поверхности. Понятие внутренней геометрии поверхности.

Полной или Гауссовой кривизной поверхности в точке М называется произведение главных кривизн поверхности в этой точке, а средней кривизной – полусумма главных кривизн: K=k₁k₂ H= .

Теорема (о вычислении главных кривизн): Полная кривизна поверхности в точке , средняя кривизна следа этой матрицы. Доказательство: . Перейдем к базису, составленного из соответственных векторов. Тогда , тогда , .

Теорема: Главные кривизны к₁ и к₂ поверхности в точке М являются решением уравнения: для полной кривизны: . .

Теорема: Координаты du и dv главного направления поверхности находяться из уравнения: . (1) Доказательство: Главное направление – это собственный векторный оператор. Пусть - вектор главного направления из уравнения . Тогда, координаты du и dv является решением однородной системы уравнений: => . Найдем и подставим: => .

(2). Уравнения (1) и (2) – эквивалентны. Теорема доказана.

49. Слар. Класифікація і методи розв’язку.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида , где - количество уравнений, -количество неизвестных, - неизвестные, которые надо определить, -коэффициенты системы, - свободные члены.

- столбец свободного члена

Решением СЛАУ называется такой упорядоченный набор переменных , при котором все ур-ия системы становятся тождествами.

СЛАУ несовместная если она не имеет ни одного решения. Совместная если имеет хотя бы одно решение. СЛАУ наз определенной если она имеет только одно решение. СЛАУ наз неопределенной если она имеет бесконечное множество решений. СЛАУ наз однородной если все её свободные члены равны нулю ( ), иначе — неоднородной.

Теор кронекра-капелли СЛАУ совместна тогда и только тогда когда ранг расширенной матричной системы равен рангу матричной системы.

СЛАУ наз квадратной если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Методы решения СЛАУ 1) Матричный метод: этот методможно использовать только в том случае, если матрица А является квадратной и невырожденной. , - кв. матр., , .

2) метод Крамера: Теорема Крамера: если матричные системы есть квадратными и невырожденными , то система имеет единственное решение и это решение нам дает формулу Крамера. , где - определитель матрицы А

3) метод гаусса (метод последовательного исключения неизвестного).

Суть метода Гаусса состоит в следующем: Пусть дана совместная СЛАУ, из первого уравнения сист. выразим одну из переменных, например , через другие полученное выражение подставим в остальные уравнения сист., если мы теперь отбросим первое уравнение, то мы получим сист. которая зависит от меньшего числа переменных (на одну) и содерж. на одно ур-е меньше. К этой получим сист. применим эту же процедуру исключение одной перем. до тех пор пока не останется одно уравнение. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса заключается в следующем, из оставшегося ур-я наход-ся значение одной из переменных. Это найденное значение подставляется в предыдущее ур-е и получ-ся значение второй переменной. Эти найденные значения постав-ся в 3-е ур-е с конца и проделываем эту операцию до тех пор пока не дойдем до первого ур-я.