43. Репер Френе кривої. Формули Серре – Френе. Кривизна і скрут кривої.

Означення. Репером Френе кривої у її точці називають правий декартів ортонормований репер , базисні вектори якого визначають, відповідно, дотичну, головну нормаль і бінормаль кривої в точці (мал. 4.3).

Нехай гладка крива класу задана за допомогою вектор-функції . Тоді вектор є напрямним вектором дотичної прямої, а вектор визначає напрямок бінормалі кривої . Виберемо вектори й так, щоб , . Оскільки репер правий й ортонормований, то вектор однозначно визначається векторами й . Остаточно одержимо наступні формули для визначення базисних векторів репера Френе:

, , . (4.2)

Теорема 4.2. Дериваційні формули Серре – Френе ортонормованого репера Френе кривої мають вигляд:

, , , , (4.3)

де й (читається каппа) - скалярні функції натурального параметра , причому для кожного .

Означення. Кривиною кривої називається коефіцієнт у формулах Френе.

Означення. Якщо в точці кривої , то число називається радіусом кривини кривої у точці .

У формулах Френе для регулярної кривої крім коефіцієнта є ще й коефіцієнт , що називається скрутом кривої.

Означення. Абсолютним скрутом у точці кривої називається абсолютна величина вектора , .

44. Перша квадратична форма поверхні. Її геометричний зміст і застосування.

Нехай – регулярна поверхня, задана рівнянням . У будь-якій точці існує дотична площина . Будемо розглядати дотичну площину як двовимірний векторний простір. Вектори цього простору мають вигляд , де – локальний репер поверхні. Введемо в структуру евклідового простору за допомогою скалярного добутку векторів і знайдемо

,

або, позначивши

, , ,

одержимо

–

квадратичну форму від змінних . Вона визначена в дотичній площині поверхні й називається першою квадратичною формою поверхні.

Матриця називається матрицею першої квадратичної форми, а - її детермінантом.

Для коефіцієнтів першої квадратичної форми використовують ще позначення й записують . Тому що поверхня регулярна, то вектори й ненульові, а це означає, що . Крім того, відповідно до нерівності Коші - Буняковського для векторів евклідового простору. Отже, відповідно до критерію Сильвестра, для кожного матимемо , тобто перша квадратична форма додатно-визначена.

Нехай – регулярна поверхня й регулярна крива цієї поверхні задана внутрішніми рівняннями . Векторне рівняння являє собою зовнішнє рівняння кривої . Для довжини дуги кривої маємо:

, .

Оскільки , то , і значить

. (7.1)

Таким чином, , але тоді .

Висновок: Перша квадратична форма поверхні є квадратом диференціала довжини дуги кривої, що лежить на поверхні. Це твердження розкриває геометричний зміст першої квадратичної форми.

Знаючи першу квадратичну форму поверхні, можна:

1) обчислити довжину дуги лінії на поверхні;

2) знайти кут між лініями в точці їхнього перетину;

3) обчислити площу області на поверхні.