- •43. Репер Френе кривої. Формули Серре – Френе. Кривизна і скрут кривої.
- •44. Перша квадратична форма поверхні. Її геометричний зміст і застосування.
- •45. Друга квадратична форма поверхні .Нормальна кривизна кривої на поверхні.
- •46. Асимптотичні напрямки на поверхні. Асимптотичні лінії поверхні. Класифікація точок поверхні.
- •47. Матрицы. Операции над матрицами. Ранг матрицы.
- •48. Полная и средняя кривизна поверхности. Понятие внутренней геометрии поверхности.
- •49. Слар. Класифікація і методи розв’язку.
- •50. Визначники і їх властивості
- •51. Лінійні векторні простори. Підпростори. Базис і розмірність. Координати вектора.
- •52. Лінійні оператори у векторному просторі. Ядро, образ, ранг, дефект.
- •53. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Умови діагоналізіруемості мтриці лінійного оператора.
- •54. Евклидово пр-во. Ортонормированный базис.
- •55. Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми. Зведення квадратичної форми до канонічного виду.
- •56. Додатньо визначені квадратичні форми. Зведення пари квадратичних форм до канонічного виду одним перетворенням.
- •57. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы.
- •58. Группы, кольца, поля.
- •59. Гомоморфизм групп.
- •60. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.
- •61. Сравнения по простому и составному модулю. Решение сравнений.
- •62. Мультиплікативна числова функція.
- •63. Многочлены от одной переменной. Теорема Безу. Теорема Штурма.
- •64. Симметрические многочлены.
- •66. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка та методы их решения.
- •67 Ду, допускающие понижение порядка.
- •68. Неодн. Лин. Ду n-го порядка с пост. Коэф-тами, спец. Прав. Часть.
- •Метод неопр коэф-тов.
- •69. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих.
- •70. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Узагальнення на випадок рівняння -го порядку.
- •71. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключений.
- •72. Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •73. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.
- •74 Стійкість розв’язків диф.Рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.
- •75. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.
- •76. Класичне поняття ймовірності. Геометрична ймовірність. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
- •77 Повторение испытании. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа.
- •78. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.
- •79. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций
- •80. Решение нелин. Алгебраических ур-ий методом Ньютона.
- •81. Численное интегрир-е. Ф-ла трапеций.
- •82 Интерполирование функций. Интерпол. Полином лагранжа
- •83. Решение задачи коши для обыкновенного диф. Ур. Методом эйлера
- •84. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Обобщение на случай уравнения n-ного порядка.
- •85. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих.
- •86. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключений.
- •87. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка та методы их решения.
- •88. Уравнения, что сводятся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •89. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.
- •90. Стійкість розв’язків диф.Рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.
- •91. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.
71. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключений.
Одним из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений является сведение к уравнению более высокого порядка, состоящего в следующем: из уравнений системы (1)
и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнения, входящего в систему, исключают все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Интегрируя, находят одну из неизвестных функций, а остальные функции определяют из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования.
Дифференцируя по х первое из уравнений системы (1):
Заменяя производные , на , из системы (1) получим:
Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущего, получим:
Продолжая указанную процедуру, получим последнее уравнение:
Итак, получим систему
(2)
Из первых (n-1) уравнений определим , выразив их через и производные , , ,…,
(3)
Подставляя выражения (3) в последнее из уравнений системы (2), получим уравнение n-го порядка для определения .
Решая это уравнение, определим
(4)
Дифференцируя (4) (n-1) раз найдём производные , ,…, как функции от .
Подставляя их в выражение (3), получим
(5)
Тогда выражения (4) и (5) дают решение системы (1). Если дана задача Коши, то из уравнений (4) и (5) определяют значения произвольных констант , .
Замечание 1
указанный процесс исключения всех функций, кроме одной предполагает, что определитель
Только в этом случае, система (2) будет разрешима относительно функций
Замечание 2
Если применить выше указанный метод к линейной однородной системе , то уравнение n-го порядка будет линейным однородным. При чём если все коэффициенты , то и уравнение будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Аналогичное замечание справедливо и для линейной неоднородной системы, для которой уравнение будет линейным неоднородным уравнением n-го порядка.
72. Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
В некоторых случаях, когда уравнения:
Удаётся подобрать некоторую функцию такую, что уравнение:
Становится уравнением в полных дифференциалах. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения .
Функция называется интегрирующим множителем уравнения .
Для того, чтобы уравнение было уравнением полных дифференциалов, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
То есть
– уравнение в частных производных первого порядка с неизвестной функцией .
Всякая функция , удовлетворяющая уравнению , является интегральным множителем уравнения .
В общем случае, задача нахождения из ещё труднее, чем первоначальная задача интегрирования уравнения . Существуют такие частные случаи, когда удаётся найти :
Случай интегрирующего множителя, зависящего только от х
Случай интегрирующего множителя, зависящего только от y
Случай интегрирующего множителя вида