- •43. Репер Френе кривої. Формули Серре – Френе. Кривизна і скрут кривої.
- •44. Перша квадратична форма поверхні. Її геометричний зміст і застосування.
- •45. Друга квадратична форма поверхні .Нормальна кривизна кривої на поверхні.
- •46. Асимптотичні напрямки на поверхні. Асимптотичні лінії поверхні. Класифікація точок поверхні.
- •47. Матрицы. Операции над матрицами. Ранг матрицы.
- •48. Полная и средняя кривизна поверхности. Понятие внутренней геометрии поверхности.
- •49. Слар. Класифікація і методи розв’язку.
- •50. Визначники і їх властивості
- •51. Лінійні векторні простори. Підпростори. Базис і розмірність. Координати вектора.
- •52. Лінійні оператори у векторному просторі. Ядро, образ, ранг, дефект.
- •53. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Умови діагоналізіруемості мтриці лінійного оператора.
- •54. Евклидово пр-во. Ортонормированный базис.
- •55. Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми. Зведення квадратичної форми до канонічного виду.
- •56. Додатньо визначені квадратичні форми. Зведення пари квадратичних форм до канонічного виду одним перетворенням.
- •57. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы.
- •58. Группы, кольца, поля.
- •59. Гомоморфизм групп.
- •60. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.
- •61. Сравнения по простому и составному модулю. Решение сравнений.
- •62. Мультиплікативна числова функція.
- •63. Многочлены от одной переменной. Теорема Безу. Теорема Штурма.
- •64. Симметрические многочлены.
- •66. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка та методы их решения.
- •67 Ду, допускающие понижение порядка.
- •68. Неодн. Лин. Ду n-го порядка с пост. Коэф-тами, спец. Прав. Часть.
- •Метод неопр коэф-тов.
- •69. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих.
- •70. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Узагальнення на випадок рівняння -го порядку.
- •71. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключений.
- •72. Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •73. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.
- •74 Стійкість розв’язків диф.Рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.
- •75. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.
- •76. Класичне поняття ймовірності. Геометрична ймовірність. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
- •77 Повторение испытании. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа.
- •78. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.
- •79. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций
- •80. Решение нелин. Алгебраических ур-ий методом Ньютона.
- •81. Численное интегрир-е. Ф-ла трапеций.
- •82 Интерполирование функций. Интерпол. Полином лагранжа
- •83. Решение задачи коши для обыкновенного диф. Ур. Методом эйлера
- •84. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Обобщение на случай уравнения n-ного порядка.
- •85. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих.
- •86. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключений.
- •87. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка та методы их решения.
- •88. Уравнения, что сводятся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •89. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.
- •90. Стійкість розв’язків диф.Рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.
- •91. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.
62. Мультиплікативна числова функція.
В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция f(m), такая что
f(m1m2) = f(m1)f(m2) для любых взаимно простых чисел m1 и m2
f(1) = 1
При выполнении первого условия, требование f(1) = 1 равносильно тому, что функция f(m) не равна тождественно нулю.
Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию f, определенную на некотором множестве X, такую что
f(x1x2) = f(x1)f(x2) для любых .
В теории чисел такие функции, то есть функции f(m), для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m1,m2, называются вполне мультипликативными.
Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если
f(pα) = f(p) для всех простых p и всех натуральных α.
Примеры
Функция τ(m) ― число натуральных делителей натурального m.
Функция σ(m) ― сумма натуральных делителей натурального m.
Функция Эйлера .
Функция Мёбиуса μ(m).
Функция является сильно мультипликативной.
Степенная функция f(m) = mα является вполне мультипликативной.
Если f(m) — мультипликативная функция, то функцияg(m) = ∑ f(d)
d | m
также будет мультипликативной. Обратно, если функция g(m), определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f(m) также мультипликативна.
Более того, если f(m) и g(m) — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле
63. Многочлены от одной переменной. Теорема Безу. Теорема Штурма.
Функция вида , в которой наз. многочленом степени . Числа наз. коэфициентами многочлена (в общем случае они будут комплесными), а наз. переменной, которая принимает любые комплесные значения.
Два мн-на наз. равными, если совпадают их степени и совпадают коэф-ты при соответствующих степенях переменных.
1 Теорема Безу: остаток от деления мн-на на мн-н -с равен значению мн-на при , т. е. .
2 Теорема Безу: Число будет корнем многочлена , тогда и только тогда, когда делится на -с без остатка.
Теорема Штурма: если многочлен с действ. коэф-ми не имеет кратных корней, то кол-во корней на промежутке равно разности кол-ва переменных знаков в последовательности Штурма, вычисленных в точках и , т.е. .
64. Симметрические многочлены.
Среди мн-нов от нескольких переменных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие мн-ны все неизв. входят симметричным образом и поэтому эти мн-ны назыв. симметрическими мн-нами (или симметрическими функциями).
Простыми примерами будут: сумма всех неизв. сумма квадратов неизв. , произведение неизвестных и т. д.
Будем рассматривать сим. мн-ны от неизвестных с коэф.-тами из некоторого поля сумма разность, произведение сим. мн-нов сами будут сим. мн-нами, т. е. сим. мн-ны составляют подкольцо в кольце всех мн-нов от неизв. над полем называется кольцом симметр-ких мн-нов от неизв. над полем .
К этому кольцу принадлежат все эл-ты из (мн-ны нулевой степени). Всякий другой сим. мн-н непримерно содержит вес неизв. и даже имеет по ним одну и ту же степень: если сим. мн-н обладает членом в который неизв. входит с показателем , то он обладает и членом, получ. из неготранспозицией неизвестных, и т. е. содержащие неизв. в той же степени .
Следующие сим. мн-нов от неизвестных назыв. элементарными сим. мн-нами
Т. к. сим. мн-ны от неизвестных над полем составляют кольцо, то очевидно след. утв. сим-ким мно-ном будет всякая целая положит. степень любого из элементов сим. мн-нов, а также произведение таких степеней, притом взятое с любым коэф-том из , , наконец, всякая сумма указанных произведений. Иными словами всякий мн-н от элементарных сим. мн-нов с коэф-тами из , рассматиривается как мн-н от неизвестных будет сим-ким.
Пусть и возьмем мн-член заменяя их выражения, получим: справа стоит очевидно сим-кий мн-н от .
Обращением этого результата явл, основная теорема о сим-ких мн-нах: «любой сим-кий мн-н от n-переменных может быть выражен через основные сим. мн-ны от n-переменных».
65. Не приводимые многочлены над Q, R, С
Мн-н называется не приводимым над полем Р, если не может быть представлен в виде произведения двух других мн-нов с коэф-ми из поля Р, степени которых меньше степени данного мн-на.
Мн-н нулевой степени (const) не причисляется ни к приводимым, ни к не приводимым.
Над полем С не приводимы только мн-ны первой степени. Всякий мн-н может быть разложен на лин-ые множители, т.е. всякий мн-н в виде: a0xn+ a1xn-1+…
Над полем R не приводимы только мн-ны 1-ой степени и мн-ны 2-ой степени, не имеющие действит.корней.
Над полем Q существуют не приводимые мн-ны различных степеней.
Пример: xn+2, nєN.
Непроводимость мн-на над Q определяется по критерию Эйзенштейна: Если для мн-на n>0 с целыми коэф-ми существует простое число p: старший коэф-т , все остальные коэф-ты , а свободный член , i=1,n. То этот мн-н – не приводим над полем Q.
Пример: 1) x4+1 – над Q. 2) x4+1= - над R. 3) - над С.
Если степень мн-на > 0 => не разрешимые в радикалах.