66. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка та методы их решения.
def. линейное диф. уравнение 1-го порядка называется уравнение линейное относительно искомой функции и ее производной
(1)
Где
и
заданные непрерывные дифференциалы
без особых точек функции от х или
постоянные.
Если:
1
.
- однородное уравнение 1го порядка
2.
-
неоднородное уравнение 1го порядка.
Метод подстановки.
Решение уравнения (1) ищется в виде:
(2)
Где одна из функций выбирается произвольным образом, а другая на основании уравнения (1)
(3)
Подставим (3) и (2) в (1)
(4)
Или
:
(5)
(6)
Пусть С=1 т.к. нас устраивает любое не нулевое решение с учетом (5) уравнения (4) принемает вид
Получим общее решение уравнения (1)
Метод вариаций произвольной постоянной или метод Лагранжа
Рассмотрим уравнение (1). Соответствующие ему однородное уравнение имеет вид:
(7)
(8)
Уравнение (8) является общин решением уравнения (7)
Метод
вариаций произвольных постоянных
состоит в следующем, сначала находять
общее решения соответствующего
однородного уравнения
.
Затем, величина С входит в общее решение
функции и определяет ее. В (8) положем
(9)
Для того чтобы подставить (9) в (1) необходимо его продифференцировать:
(10)
Подставим (9) и (10) в (1)
(11)
(12)
(13)
Подставляем (13) в (9) и получаем общее решение (1)
(14)
Это
общее решение уравнения (1) т.е. общее
решение соответствующего линейного
однородного уравнения и частного не
однородного уравнения полученного из
(14),
при
.
67 Ду, допускающие понижение порядка.
1. Исходное ДУ не содержит функцию, ее производных до (к-1) порядка т. е. ур-е имеет вид:
F(x,y(k),y(k+1),…y(n))=0 (1) Порядок ур-я может быть снижен до (n-k)порядка заменой y(k)(x)=p(x) Þ y(k+1)(x)=p’(x), y(k+2)(x)=p’’(x)…y(n)(x)=p(n-k)(x) Þ
F(x,p(x),…p(n-k)(x))=0 (2) Интегрируя (2) Þ p(x)=p(x,c,…cn-k) Ф-я у после этого находится путём к-ого интегрирования, т. е. y1(k)(x)=p(x, c1,…,cn-k).
2. Исходное ур-е не содержит переменной x
F(y,y’,…,y(n)(x))=0 (3)
В этом случае порядок может быть снижен на 1 подстановкой: y’(x)=p(y), т. е. p рассматривается как новая неизвестная ф-я от y, т. е. p=p(y) Þ y’(x)=p(y) Þ высшие производные будут вычислены по формулам:
y”=(y’)’=(p(y))’=p’y’=pp’ Þ исходное ур-е примет вид F(y,p,p’,…p(n-1)(y))=0 – порядок ниже на 1.
3. F(x,y,y’,…,y(n)(x))=0 и левая часть этого ур-я представляет собой произведение некоторого диф. выражения (n-1) порядка, т. е. j(x,y,y’,…,y(n-1)(x))=0. В этом случае находится так называемый первый интеграл, т. е. ДУ (n-1) порядка с 1 производной постоянной эквивалентен исходному ур-ю n-го порядка. Этим понижается порядок исходного ур-я на 1.
4. Рассмотрим частный случай ур-я n-го порядка с переменными коэффициентами, именуемые уравнением Эйлера имеет вид:
x(n)yn(n)(x)+x(n-1)yn-1(n-1)(x)+…+xy1(x)+a0y(x)=0, a0=const¹0 (4) Заметим, что порядок х соответствует порядку производной y(x). Решение (4) может быть получено введением новой переменной x=et Þ dx=etdt (5)
(6)
Аналогично могут быть выражены и следующие производные по x. Подставляя (5), (6) в (4) и преобразуя его, сведём (4) с переменными коэффициентами к ДУ с постоянными коэф-ми, методы решения которые нам известны.
5.F(x,y,y’,…,y(n)(x))=0 (7)
Пусть (7) однородно относительно аргумента y,y’,…,y(n) т. е. однородно относительно i-ой производной Þ
F(x,ky,ky’,…,ky(n)(x))=kpF(x,y,y’,…,y(n)(x)) (8) (8) является однородным p-го порядка (измерения). Порядок такого ур-я может быть понижен на 1 подстановкой
(9) где z(x)
– новая неизвестная ф-я. При такой
замене:
y’=z
y’’=(z2+z')
(10) Подставим
(10) в (7) и замечаем в силу однородности
(7), что множитель
можно вынести за знак ф-ии F
и получим
F(x,z,z’,…,z(n-1)(x))=0.