50. Визначники і їх властивості
Определителем (детерминант) -го порядка наз сумма ! слагаемых каждый из которых есть произв - елементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с учетом правила знака.
Правило
знака: слагаемые входит в определитель
со знаком + (-), если подстановка
является четным (нечетным)
Св-ва
опред-й. 1)
определитель транспонированной мат =
опред исходной матр
.
2) общий множитель в строке можно выносить за знак опред.
3) если какая-то строка определителя представляет собой сумму 2-х строк, то этот опред = сумме 2-х опред в каждом из кот вместо этой строки состоит соответствующая строка слагаемых.
4) опред содержащий нулевую строку =0.
5) если в опред. поменять местами 2 строки то он изменит знак
6) определ с 2-мя равными строками =0
7)
опред с 2-мя пропорциональными строками
=0
8)опред не изменится если к какой-нибудь его строке прибавить другую строку умноженную на некоторое число.
9) опред верхнетриугольной матр = произведению диагональных елементов.
10)
разложение опред по строке – опред =
сумме произведений элементов некоторой
строки на алгебр дополнение к элементам
этой строки. (Дополнительным минором
к элем-ту
наз опред. получ. вычеркиванием из
исходного опред.
строки и
столбца. Алгебраич дополнением
к эл-ту
наз исходный опред. в котором
строке и
столбце стоят 0, а на их пересечениях
единицы (Минором
Мij
Эл-та aij
опред-я n-го
пор-ка наз-ся опрде-ль n-1
порядка, который получается из опред-я
вычеркиванием i
строки и j
столбца. Алгебаическим
дополнением
Aij
Эл-та aij
наз-ся произ-е (-1)i+j*Mij.))
11) сумма произведений элементов некоторой строки опреднлителя на алг. дополнение к элементам другой строки равна 0.
12)
сумма произвед элем строки
на алгебр дополн. к элем.
строки опред
= опред
в котором вместо
строки стоит строка
.
13) Теорема Лапласса: Выберем в определители n-го порядка m-строк, тогда исходный определитель будет равен сумме произведения всевозможных миноров сост-их из выбранных строк на их алг. дополнение.
14)
опред произведения квадратн матр =
произвед опред
51. Лінійні векторні простори. Підпростори. Базис і розмірність. Координати вектора.
Опр. Линейное (векторное) пространство над полем наз множ (Эл которого наз векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элем поля ) и выполн. след. аксиомы:
0)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
.
В качестве поля мы будем рассматривать в поле как в множ. действит чисел (в этом случае пространство наз. действит.) и поле (множ. комплексных чисел), если не оговорено противоположное рассматривается действительное пространство.
Опр. Вектор – это элемент векторного пространства.
Опр. Базисом ЛВП – наз. любая упорядоченная макс лин. независимая система векторов (любые 2 базиса пространства имеют одинаковое количество векторов.)
Опр. Размерностью лин. пространства наз. число = кол-ву элементов в любом базисе этого пространства (в лин пространстве не определено понятие длинны вектора и угла между векторами).
Опр.
Координатами вектора
в базисе наз. упорядоченный набор
коэффициентов
при
разложении данного вектора по базису.
(Пример:
или
)
Опр. Подпространством лин векторного пространства наз такое его подмножество, которое само явл лин простр-м относительно тех же операций.
Критерий
под-ва. Подпространство
лин.
векторного пр-ва
явл.
подпр-вом
тогда
и только тогда, когда выполняются две
аксиомы:
1) 
(сумма
2-х елементов из подмнож лежит в этом
подмнож.)
2) 
(Произведение
любого числа на любой элемент подмнож
лежит в этом подмнож)
Базис подпространства всегда можно дополнить до базиса всего пространства.
Опр.
Пересечением (объединением) подпространств
и
наз множ тех векторов кот входят в
и
одновременно (кот входят или в
или в
)
Опр.
Суммой подпространств
и
наз множ векторов каждый из кот можно
записать в виде суммы 2-х векторов одного
из
другого из
- формула Грассмана.
Опр.
Сумма подпространств наз прямой
если пересечение этих подпространств
состоит только из
.