77 Повторение испытании. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа.

Ииспытания наз. независимыми, если вероятность результата каждого события А в каждом испытании не зависит от того, какие результаты имели предыдущие испытания, то такие испытания наз. независимыми относительно соб. А.

Если делается n независимых испытаний в одинаковых условиях, причем в каждом из них событие А появляется с вероятностью р, то вероятность появления в этих испытаниях события А равно m раз и находится по формуле Бернулли.

Формула Бернулли. Если вероятность р наступление события А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисл. по формуле

,

Где

Если число испытаний велико, а вероятность успеха мала, то вероятность m успехов в n испытаниях рассчитывается по формуле Пуассона.

Th. Пуассона. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна, но мала, а число n достаточно большое, но число небольшое, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз вычисляется по формуле Пуассона:

.

Условие применения формулы Пуассона:

При больших n пользуются локальной теоремой Муавра- Лапласа, которая дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события m раз из n испытаний, если число испытаний достаточно велико.

Th. Если вероятность Р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P_n(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

Где - называется функцией Лапласа.

Для вычисления функции имеются таблицы, при чом для и владеет такими свойствами:

1. непарная, т.е.

2. монотонно возрастающая, т.е. при

3. граница функции при равна еденице

4. для всех значений строго больше 4 можна считать, что

78. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.

Высказывание –это повествовательное предложение о котором можно сказать, что оно истинно или ложно (2*3=5 –ложное). Высказывания могут являться истинными или ложными.

Логические операции над высказываниями:

Отрицание – высказывание А, высказывание не А которое истинно тогда

и только тогда, когда А – ложное.

Коньюнкция ( )– высказывание А и В, которое истинно тогда и только

тогда, когда А – истинно и В – истинно.

Дезьюнкция (АvВ (А или В)) – высказывание А и В которое ложно , если А

и В – ложны.

Импликация (А => B) – высказывание А и В, которое будет ложно т. и т. т.,

к. А –истино и В – ложно.

Эквиваленция (АB)– высказывание А и В, которое истино т. и т. т., к. А=В.

Теперь построим таблицу истинности для данных высказываний:

А	В			АvВ	А => B	АB
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Формула логики высказываний называется тавтологией, если она истина при

любых значениях, входящих в нее элементарных высказываний. Например:

А		Аv
0	1	1
1	0	1

Формула логики высказываний называется тождественно ложной ( ), если она ложна при любых значениях, входящих в нее элементарных высказываний. Формула В (А₁,…,А_n В) называется логически выводимой из А₁,…,А_n , если при любом выборе элементарных высказываний, входящих в состав формулы А₁,…,А_n формула В будет истина всякий раз, когда будет истина вся формула А₁,…,А_n. Формулы А и В называются равносильными или логически эквивалентными, если они принимают одинаковые значения при любом выборе элементарных высказываний (т.е. если их таблицы истинности совпадают).

Законы Де – Моргана: 1) ; 2) .

Теорема: - тавтология.

Можно привести такие наиболее встречающиеся формулы логических высказываний:

5) 9) (А*В)*С=А*(В*С

6) 10) (АvВ) С=АСvВС

7) 11)

8) А*В=В*А 12) АvАВ=А

13) А=>В=

14) АВ=(А=>B)(B=>A) 17) AB=

15) AB= ) 18) A

16) AB=AB 19)