1. Классический метод расчета переходных процессов.

Классический метод расчета переходных процессов оси заключается в непосредственном решении системы интегро-дифференциальных уравнений, которыми описывается схема после коммутации.

1.2. Законы коммутации.

Первый закон коммутации.

Ток и потокосцепление в индуктивности не могут измениться скачком, т.е.

i_L(-0)= i_L(+0);

ψ(-0)=ψ(+0). (1.2.1)

При скачкообразном изменении потокосцепления или тока ток и потокосцепление в индуктивности не могут измениться скачком.

(1.2.2)

т. е нарушается второй закон Кирхгофа, т.к. падение напряжения на каком-либо участке не может принимать бесконечно большое значение.

Второй закон коммутации. Заряд и напряжение не могут измениться скачком

q(-0)=q(+0);

u_c(-0)= u_c(+0). (1.2.3)

В противном случае ток принимает бесконечно большое значение:

(1.2.4)

Перечисленные в законах коммутации величины носят название независимых начальных условий. Все остальные токи и напряжения носят название зависимых: i_C(0); u_L(0); i_R(0); u_R(0). Начальные условия могут быть нулевые и не нулевые.

Независимые начальные условия характеризуют энергию, запасенную в соответствующих элементах к моменту коммутации. Расчет цепей в переходных режимах будем вести, используя законы Кирхгофа.

Пусть задана цепь с элементами R, L, C (рис 1.1)

Рис 2.1. Схема коммутации

Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации относительно тока:

. (1.2.5)

Полученное дифференциальное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Решением данного уравнения является сумма двух решений, частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного. Частное решение называется принуждённой составляющей тока (напряжения). Это величина тока (напряжения), которая изменяется с той же частотой, что и действующая в схеме ЭДС. Будем обозначать их u_пр, i_пр.

Аналогичны решения однородного дифференциального уравнения (без источника ЭДС):

u_R = u_Rсв;

u_L = u_Lсв;

u_C = u_Cсв.

Полное решение определяем по принципу наложения:

i= i_пр + i_св,

т.е. все величины в цепи меняются по одному закону. В зависимости от порядка решаемого дифференциального уравнения выделяют цепи первого, второго и высшего порядка, а сам порядок дифференциального уравнения определяется количеством накопителей энергии.

1.3. Короткое замыкание цепи r-l

Пусть произошло короткое замыкание в катушке в схеме по рис. 1.3.1.:

Рис.1.3.1. Схема цепи

1.До коммутации:

2.Составим дифференциальное уравнение исходной цепи после коммутации:

,

где А – постоянная интегрирования, р – корень характеристического уравнения цепи после коммутации.

Вторым способом составления характеристического уравнения является способ, при котором в комплексной форме составляется входное сопротивление цепи относительно источника, оператор jω заменяется на p. Полученное выражение приравнивается к нулю. Такой способ удобнее применять в случае, когда переходный процесс происходит в сложной разветвленной цепи:

Определим постоянную A, используя независимое начальное условие. Данное уравнение справедливо для любого момента времени, в том числе для t = 0:

.

Проверка:

Для оценки длительности переходного процесса вводят понятие постоянной времени . За время t = τ величина свободного тока или напряжения изменится в e раз. Если с момента коммутации пройдет время, равное 3τ, то значение тока в переходном процессе достигает 95% своего установившегося значения, при t = 5τ - 99%.

Используя полученное выражение для тока, получим функции и :

;

Проверка:

Построим графики полученных функций в переходном процессе (рис. 1.3.2.):

Рис.1.3.2. Графики зависимости i(t), u_R(t), u_L(t) в переходном процессе

Постоянная времени может быть определена графически следующим образом: определим производную тока и найдем отношение:

где (рис 1.3.2.), , тогда величина подкасательной OA  .

Для определения численного значения  необходимо отрезок OA умножить на масштаб m_t.

Определим энергию, выделяющуюся в виде тепла на активном сопротивлении:

Полученный результат представляет энергию, запасенную индуктивностью к моменту коммутации.