- •§ 1. Уравнение неразрывности
- •§ 2. Уравнения движения и равновесия
- •Уравнением моментов
- •§ 3. Уравнения состояния (математические модели)
- •§ 4. Уравнения состояния гидромеханики
- •§ 5. Основные уравнения теории фильтрации
- •§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
- •§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
- •§ 7. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности
- •§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
Лекция 2. Уравнения механики сплошных сред
§ 1. Уравнение неразрывности
Один из фундаментальных законов ньютоновской механики материальных тел — это закон сохранения массы т любого индивидуального объема, т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон заключается в том, что для любого индивидуального объема т = const или в иной форме
В механике сплошных сред почти всегда вместо массы рассматривается плотность ρ.
Для малого объема верно равенство Δm ≈ ρΔV, а для конечного объема — равенство , где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему V.
Тогда закон сохранения массы т принимает вид
(2.1)
Здесь не только плотность ρ — функция от координат точек пространства и времени, но и объем V зависит от t. Принимая это во внимание при вычислении производной в равенстве (2.1), несложно получить равенство
и так как оно справедливо для любого индивидуального объема, то получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды
(2.2)
которое называется уравнением неразрывности в переменных Эйлера. Это уравнение накладывает ограничение на скорость точек сплошной среды и применяется при больших перемещениях точек среды.
Если воспользоваться формулой (1.5), то уравнение (2.2) можно переписать в виде
(2.3)
В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии = (r, z) уравнение неразрывности принимает вид
Интересно, что уравнение (2.3) легко получить сразу, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ρ сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. Нам известно [см. формулу (1.10)], что этот поток может быть представлен в виде
Он выражает массу среды, вытекающую за единицу времени из замкнутой поверхности S. Так как это повлечет за собой уменьшение плотности внутри S в единицу времени, равное (- dρ/dt), и соответственно изменение массы среды внутри S, равное
то
Отсюда следует уравнение (2.3).
Для несжимаемой жидкости dρ/dt (хотя ∂ρ/∂t≠0), уравнение неразрывности (2.2) приобретает вид
div =
В этом случае поток скорости через любую неподвижную замкнутую поверхность равен нулю, т. е. объем втекающей жидкости равен объему вытекающей. Применяя это свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормальными сечениями, получим
v1S1=v2S2 .
Конечно, не существует сред, в строгом смысле действительно несжимаемых, однако весьма часто в инженерной практике предположение о постоянстве ρ приводит к значительному упрощению задачи и почти не вносит ошибки.
Для стационарных движений ∂ρ/∂t = O, уравнение неразрывности получает вид
div ρ= 0 или
Уравнение (2.2) или (2.3) справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощений массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающих тел. Однако оно легко обобщается для многокомпонентных смесей или многофазных сред с учетом различного взаимного влияния компонентов (или фаз).
Для этого всякий индивидуальный объем можно представить как совокупность п континуумов, каждый из которых имеет свою плотность ρ1, ρ2, ..., ρn и свою скорость , , …, . Если в смеси не происходит химических реакций и других процессов взаимных превращений, то для каждого компонента смеси должен выполняться закон сохранения массы
или
Если же в смеси происходят химические реакции, то массы компонентов тi могут меняться. Пусть γi — изменение массы тi i-го компонента смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции. Тогда уравнение неразрывности для компонента смеси можно записать в виде
или (2.4)
Согласно закону сохранения общей массы при химических реакциях имеем
(2.5)
Кроме п плотностей и п скоростей для компонентов смеси можно ввести одну плотность ρ и одну скорость смеси как целого.
Для этого достаточно просуммировать уравнения (2.4), учесть (2.5) и получим следующие равенства
В результате уравнение неразрывности примет обычный вид (2.3) относительно средних характеристик среды.
Все сказанное остается в силе, если вместо химических реакций в многокомпонентных смесях рассматриваются процессы взаимных поглощений (или выделений) в многофазных средах. В этом случае в формуле (2.4) γi — интенсивность поглощения i-той фазы среды.