§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела

Получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения EMBED Equation.3 , тензоров деформаций EMBED Equation.3и напряжения EMBED Equation.3в любой точке областиD, занятой телом, и в любой момент времени.

В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.

Трем уравнениям движения [см. формулу (2.9)]

EMBED Equation.3 . (2.98)

Шести уравнениям механического состояния

EMBED Equation.3 (2.99)

соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (2.74)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (2.77)]; при ползучести среды [см. формулу (2.91)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов.

Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]

EMBED Equation.3 (2.100)

и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций EMBED Equation.3 .

В уравнениях (2.98) – (2.100) использована декартова система координат EMBED Equation.3 и следующие введенные ранее обозначения: EMBED Equation.3- проекции массовых сил и ускорения; EMBED Equation.3- плотность тела; EMBED Equation.3- модуль сдвига; EMBED Equation.3- коэффициент Ламе; EMBED Equation.3- модуль объемного сжатия;Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3- модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. лекцию 1); EMBED Equation.3- компоненты девиатора деформации; EMBED Equation.3- объемная деформация; EMBED Equation.3- компоненты девиатора скорости деформации; EMBED Equation.3- символ Кронекера:

EMBED Equation.3

где EMBED Equation.3 - скорость объемной деформации; EMBED Equation.3и EMBED Equation.3- компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения EMBED Equation.3и скорости EMBED Equation.3соотношениями Коши:

EMBED Equation.3 (2.101)

При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (2.99), изменится. В лекции 1 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.

Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (2.98) – (2.100) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.

Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения EMBED Equation.3 , то граничные условия записываются в виде (см. лекцию 1)

EMBED Equation.3 (2.102)

где EMBED Equation.3 - нормаль к поверхностиS; EMBED Equation.3 - проекции вектора EMBED Equation.3на оси выбранной системы координат;М – точка поверхности; t – время.

В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.

Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения EMBED Equation.3 (или скорости EMBED Equation.3)

EMBED Equation.3 (2.103)

то говорят о второй граничной задаче, где EMBED Equation.3 - известные функции точек поверхности и времени.

В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (2.102), а на другой – вида (2.103), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.

Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).

Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции EMBED Equation.3 . Для этого достаточно подставить формулы (2.99) и (2.101) в уравнения (2.98) и граничные условия (2.102), полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения EMBED Equation.3. В этом случае надобность в уравнениях (2.100) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.

Если первая граничная задача решается в напряжениях EMBED Equation.3 , то эти функции, кроме уравнений (2.98), должны удовлетворять и системе уравнений (2.100), в которой необходимо EMBED Equation.3(или EMBED Equation.3) выразить через EMBED Equation.3с помощью формул (2.99).

Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (2.99). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.

Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.

77