§ 7. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности

Вязкие (или реологические) свойства твердых тел устанавливаются главным образом по данным опытов на ползучесть. Ползучестью называется накапливание деформации во времени при постоянном напряжении.

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис. 16. Общий вид кривой ползучести

На рис. 16 показана типичная кривая ползучести EMBED Equation.3 при фиксированном эффективном напряжении сжатия EMBED Equation.3(или растяжения) и определенных внешних условиях (температура, давление, влажность). На этой кривой выделяют условно три стадии ползучести:

АВ – неустановившаяся, она характеризуется уменьшением скорости деформации;

ВС – установившаяся, скорость постоянная;

СД – прогрессирующая, скорость деформации растет вплоть до момента разрушения.

Деформация образца на первом участке сопровождается структурными изменениями, которые затрудняют ползучесть, происходит упрочнение. Выход на участок ВС означает, что материал исчерпал способность упрочняться, и вследствие этого уменьшилась скорость деформации. Ускоренная ползучесть на участке СД объясняется зарождением и развитием трещин. Участок вертикальной оси 0А соответствует мгновенной деформации EMBED Equation.3 , коротая в зависимости от уровня напряжения EMBED Equation.3может быть либо упругой, либо содержать мгновенную пластическую деформацию. В любой момент времени полную накопленную деформацию можно определить в виде суммы EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3- деформация ползучести.

EMBED Photoshop.Image.8 \s EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис. 17. Серия кривых ползучести Рис. 18. Семейство изохронных кривых ползучести

1. Теория старения

Для описания участков кривой ползучести используются различные теории (гипотезы). Так, для описания первых двух участков кривой чаще других используется теория старения, согласно которой полная деформация является функцией напряжения и времени при фиксированных внешний условиях (давление, температура, влажность и т.д.), т.е. EMBED Equation.3 . Эта функция задается серией кривых ползучести (рис. 17), которые затем перестраиваются в изохронные кривые в координатах EMBED Equation.3(рис. 18). Техника подобной перестройки очевидна. Проведем на рис. 17 вертикальную прямую, соответствующую EMBED Equation.3. Точки пересечения этой прямой с кривыми ползучести определяют пары значений EMBED Equation.3и EMBED Equation.3. Построив их в соответствующей системе координат, получим кривую EMBED Equation.3для момента времени EMBED Equation.3(см. рис. 18). Подобным образом строятся кривые для других моментов времени. Эту серию кривых называют семейством изохронных кривых. Кривая мгновенного деформирования (t = 0) также является изохронной.

Экспериментально установлено, что совокупность изохронных кривых можно описать с помощью следующей эмпирической формулы

EMBED Equation.3 , (2.83)

где EMBED Equation.3 - параметры ползучести.

Для вязкопластичного тела функция EMBED Equation.3 нелинейная, определяется согласно (2.68). Для вязкоупругого тела EMBED Equation.3, и с учетом (2.83) деформацию вычисляют по формуле

EMBED Equation.3 . (2.84)

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис. 19. К определению параметров ползучести

а – деформационная кривая; б – исходная кривая по ползучести; в – преобразованная кривая по текучести

Чтобы определить параметры ползучести, достаточно располагать кривой мгновенного деформирования (рис. 19, а) или хотя бы одной кривой ползучести (рис. 19, б). Измерив на кривой ползучести ординаты EMBED Equation.3 , соответствующие моментам времени EMBED Equation.3при EMBED Equation.3, откладываем их по оси абсцисс на диаграмме мгновенного деформирования; полученные ординаты обозначаем через EMBED Equation.3. Теперь построим новый график (рис. 19,в). По оси абсцисс отложим EMBED Equation.3 , по оси ординат - EMBED Equation.3. Из соотношения (2.83) должно выполняться равенство

EMBED Equation.3 .

Откуда EMBED Equation.3 - величина отрезка, отсекаемого построенной прямой на оси ординат, а EMBED Equation.3- ее угловой коэффициент. Естественно, более точные результаты получатся, если использовать несколько кривых ползучести.

Характерно, что параметр EMBED Equation.3 близок к 0,3 для различных горных пород.

По теории старения для описания сложного напряженного состояния

пользуются теми же уравнениями обобщенного закона Гука [см формулу (2.73)], в которых надо модули упругости G и пластичности EMBED Equation.3 заменить функциями времени EMBED Equation.3и EMBED Equation.3соответственно.

Ниже приведены средние значения параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3для некоторых горных пород при времени, заданном в с.

коэффициенты	EMBED Equation.3	EMBED Equation.3
Песчаник	0,0046	0,283
Известняк	0,0067	0,299
Глина кембрийская	0,01	0,2
Аргеллит	0,0158	0,279
Алевролит	0,0368	0,285
Галит	0,085	0,2
Каменная соль	0,15	0,246

Благодаря простоте и удобству, теория старения нашла широкое применение в практике инженерных расчетов. Но в силу того, что эта теория исходит из опытов на ползучесть при постоянных нагрузках, ею можно пользоваться только в условиях постоянства напряженного состояния или медленного монотонного его изменения.

Для общего случая нагружения твердого тела используют уравнения состояния хорошо разработанной теории наследственной ползучести.

Ограничимся лишь уравнением состояния линейной теории наследственной ползучести при одноосном упругом сжатии (растяжении) образца переменным во времени напряжении EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 (2.85)

или, если известна деформация ползучести EMBED Equation.3 , то

EMBED Equation.3 , (2.86)

где аналитически связанные функции K(t) и R(t) называются соответственно ядром ползучести и резольвентой ядра ползучести.

Физический смысл функций K(t) и R(t) простой: функция EMBED Equation.3 - скорость ползучести при постоянном единичном напряжении, а функция

EMBED Equation.3 - скорость изменяющегося во времени напряжения, необходимого для поддержания постоянной единичной деформации.

Отсюда ясен экспериментальный метод определения функции K(t) по кривой ползучести и R(t) – по релаксационной кривой. Если теория не подвергается сомнению, то необходимость в экспериментальном определении резольвенты отпадает, так как функция R(t) находится аналитически по известному ядру ползучести.

В литературе известно несколько видов ядер ползучести. Наиболее употребляемым является ядро типа Абеля:

EMBED Equation.3 , (2.87)

используя которое в уравнении (2.85) при EMBED Equation.3 , получим уравнение (2.84) теории старения, в котором EMBED Equation.3.

Поэтому из сопоставления уравнений (2.84) и (2.86) легко установить, что резольвентой ядра ползучести (2.87) является функция

EMBED Equation.3 .

Теория наследственной ползучести включает в себя как частные случаи все известные упрощенные теории, например такие, как:

а) релаксационная теория упруговязких сред Максвелла;

б) теория упруговязкой среды Кельвина – Фойгта (модель Кельвина – Фойгта);

в) теория вязкопластичной среды Шведова – Бингама (модель Шведова – Бингама).

Дифференцируя обе части уравнения (2.85) по t и принимая в нем ядро EMBED Equation.3 , получим уравнение Максвелла

EMBED Equation.3 . (2.88)

Если в начальный момент времени под действием напряжения EMBED Equation.3 деформация образца составила EMBED Equation.3и в дальнейшем поддерживается постоянной EMBED Equation.3, то из уравнения (2.87) следует закон релаксации напряжения

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 называетсяпериодом релаксации напряжений.

При постоянном напряжении ( EMBED Equation.3 ) из уравнения (2.88) следует, что тело течет подобно вязкой жидкости.

Аналогично можно получить уравнение Кельвина – Фойгта

EMBED Equation.3

и уравнение Шведова – Бингама

EMBED Equation.3

где EMBED Equation.3 - предел текучести (см. рис. 12).

1. Теория установившегося течения

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Если участок АВ кривой ползучести (см. рис. 16) мал и им можно пренебречь, то применяют теорию установившегося течения, согласно которой скорость ползучести EMBED Equation.3 в каждый момент времени зависит от напряжения EMBED Equation.3при фиксированных внешних условиях, т.е. имеем кинетическое уравнение ползучести

EMBED Equation.3 .

Удобными аналитическими аппроксимациями функции EMBED Equation.3 являются:

степенная зависимость

EMBED Equation.3 , (2.89)

и экспоненциальная

EMBED Equation.3 , (2.90)

где EMBED Equation.3 - некоторая характерная скорость, которую удобно выбрать за единицу масштаба; EMBED Equation.3- параметры ползучести в условиях опыта.

Рис.20. Характерный вид ступенчатого нагружения образцов при испытаниях их на ползучесть

EMBED Photoshop.Image.8 \s рис.16 EMBED Photoshop.Image.8 \s

Экспресс-метод определения параметров ползучести заключается в следующем: серия образцов подвергается ступенчатому нагружению (при фиксированных EMBED Equation.3 ) по некоторой программе (рис. 20). На каждой ступени нагружения снимается кривая зависимости деформации от времени, по которой определяется скорость ползучести. Таким образом, для каждого образца (порядковый номерj) получается последовательность из EMBED Equation.3 точек диаграммы EMBED Equation.3(N – число ступеней). Если принять закон ползучести в форме (2.89), то эти точки, нанесенные в координатах EMBED Equation.3 , определяют прямую EMBED Equation.3. Параметры EMBED Equation.3и EMBED Equation.3для каждого образца находятся методом наименьших квадратов. После этого проводится осреднение полученных характеристик для разных образцов.

Совершенно аналогично находятся параметры экспоненциального закона ползучести (2.90), которому соответствует линейная зависимость EMBED Equation.3 .

Таблица 20

Порода	EMBED Equation.3 ºС	В МПа	т
Галит	80	7,94	7,7
	100	5,19	7,7
	150	3,71	7,7
Бишофит	50	2,76	4,28
Гипс, насыщенный водой	24	1,9	4,88

В табл. 20 приведены значения параметров ползучести В и т некоторых горных пород, вычисленных по данным литературных источников при EMBED Equation.3 .

При описании сложно-напряженного состояния по этой теории уравнения (2.73) – (2.75) также справедливы, если в них компоненты деформации EMBED Equation.3 заменить компонентами скоростей деформации EMBED Equation.3и соответственно интенсивность деформации сдвига Г – на интенсивность скоростей деформации сдвига Н, т.е. в общем случае будет

EMBED Equation.3 . (2.91)

3. Теория разрушения

Для описания третьего участка кривой ползучести и прогнозирования момента разрушения применяется теория разрушения, согласно которой кинетическое уравнение ползучести принимается в виде

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 - структурный параметр, называемый функцией поврежденности или растрескивания.

Так как повреждение тела начинается на самых ранних этапах деформирования и возрастает с течением времени вплоть до разрушения, то функция EMBED Equation.3 должна удовлетворять условиям

EMBED Equation.3 , (2.92)

где EMBED Equation.3 - время до начала разрушения.

Накопление повреждений – случайный процесс, и поэтому, согласно представлениям статистической физики, изменение поврежденности можно описать некоторым кинетическим уравнением вида

EMBED Equation.3 .

Функцию F и параметры процесса определяют экспериментально с привлечением практических и теоретических соображений. При этом существенно, чтобы функция и параметры могли быть найдены из достаточно простых опытов.

Если внешние условия фиксированы и с течением времени структурных изменений нет, то скорость роста поврежденности определяется приведенным напряжением, равным EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3- функция сплошности [17]. Тогда процесс ползучести и сопутствующий ему процесс разрушения описывается следующей системой кинетических уравнений:

EMBED

Удобной аппроксимацией функции F является степенная зависимость

EMBED Equation.3 , (2.93)

где A > 0 – некоторый коэффициент; EMBED Equation.3 - показатель трещинообразования, соответствующий определенным внешним условиям.

Если разрушению предшествуют малые деформации, то можно пренебречь изменением напряжений EMBED Equation.3 во времени и из уравнения (2.93) при условии (2.92) найти время до начала разрушения:

EMBED Equation.3 (2.94)

Сопоставляя время t с экспериментальным временем разрушения, можно найти параметры A и n. Для этого проводятся испытания на длительную прочность, которые состоят в том, что серия образцов подвергается нагружению различной интенсивности, при этом время разрушения каждого образца фиксируется. Каждому значению напряжения EMBED Equation.3 соответствует свое время EMBED Equation.3. Зависимость между EMBED Equation.3и EMBED Equation.3называется диаграммой длительной прочности. Она строится в логарифмических координатах.

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис. 21. Диаграмма длительной прочности водонасыщенного гипса

1, 2 – соответственно при EMBED Equation.3 = 0 и EMBED Equation.3= 100 МПа

В качестве примера на рис.21 показаны диаграммы длительной прочности водонасыщенного гипса, построенные по данным справочника [Справочник физических констант горных пород под редакцией С.Кларка]. Из формулы (2.94) имеем

EMBED Equation.3 .

По наклону прямой длительной прочности находим показатель n, а по положению некоторой точки (на рис. 21 ее координаты показаны пунктиром) определяют коэффициент А. для прямой 1: n = 6; EMBED Equation.3 ; для прямой2: n = 7; EMBED Equation.3 .

Если процесс ползучести описать степенной зависимостью вида

EMBED Equation.3 ,

то на втором и третьем участках кривой ползучести накапливаемую деформацию можно вычислить по формуле

EMBED Equation.3 (2.95)

сравнение этой зависимости с экспериментальной может служить контролем правильности выбранной аппроксимации.

Время EMBED Equation.3 , в течение которого исчерпывается несущая способность материала, является наиболее универсальнымкритерием длительной прочности или долговечностью материала. Наиболее известная в литературе формула для вычисления долговечности

EMBED Equation.3 (2.96)

получена С.Н. Журковым на основе термофлюктационной концепции для твердых полимеров и пригодна для горных пород. Здесь EMBED Equation.3 - период колебания атомов в твердых телах, для всех полимеров он примерно одинаков и равен EMBED Equation.3с, для горных пород того же порядка; EMBED Equation.3- энергия активации процесса термодеструкции; EMBED Equation.3- структурно-чувствительный параметр;R – универсальная газовая постоянная Больцмана; T – абсолютная температура. Параметры EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3определяют по линейной диаграмме длительной прочности в координатах EMBED Equation.3и EMBED Equation.3. Согласно данным работы [8], для песчаника, песчанистого сланца и глинистых сланцев EMBED Equation.3и 35 ккал/моль, EMBED Equation.3соответственно.

Если напряжение EMBED Equation.3 зависит от времени, но скорость изменения напряжения невелика, структура и температура материала не изменяются, то согласно принципу суммирования повреждений время до разрушения определится из уравнения

EMBED Equation.3 , (2.97)

где EMBED Equation.3 - долговечность при постоянном напряжении, равном мгновенному значению EMBED Equation.3.

В общем случае критерий разрушения имеет вид

EMBED Equation.3 .

Отсюда следует, что в любых условиях механического и теплового воздействия долговечность является функционалом от параметров напряжения, температуры и структуры тела.

В условиях сложного напряженного состояния в уравнениях (2.93) – (2.97) вместо EMBED Equation.3 необходимо использовать некоторое приведенное напряжение, в качестве которого чаще всего используется интенсивность напряжения EMBED Equation.3[см. формулу (1.41)].