§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности

1. Характерные мгновенные свойства твердых тел при кратковременном осевом растяжении (сжатии).

На примере кратковременного осевого растяжения (сжатия) цилиндрического образца легко проследить характерные мгновенные свойства твердых тел. На рис. 12 показан общий вид деформационной кривой напряжение – деформация ( EMBED Equation.3 ). Эту кривую условно разбивают на следующие характерные участки:

ОА – участок упругих деформаций, где материал подчиняется линейному закону Гука

EMBED Equation.3 (2.66)

с коэффициентом пропорциональности Е, называемым модулем упругости, или модулем Юнга;

АВ – участок пластического течения (или текучести), характеризуемым нарастанием деформации или неизменном напряжении EMBED Equation.3 , которое называетсяпределом упругости или пределом текучести;

ВС – участок упрочнения, где нелинейная зависимость между напряжением и деформацией по аналогии с уравнение (2.56) представима в форме

EMBED Equation.3 (2.67)

с коэффициентом EMBED Equation.3 , называемыммодулем пластичности;

СD – участок разрушения, напряжение EMBED Equation.3 называетсяпределом прочности;

LM – участок разгрузки или повторной нагрузки.

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис.12. Общий вид деформационной кривой

Если точка L расположена выше точки А, то при полной разгрузке исчезает накопленная упругая деформация EMBED Equation.3 и сохраняется деформация пластическая EMBED Equation.3. При повторном нагружении образца его диаграмма мало отличается от кривойMLC, т.е. материал в результате первоначального нагружения выше EMBED Equation.3 как бы приобретает дополнительные упругие свойства и повышает предел упругости EMBED Equation.3; это явление называетсяупрочнением.

Функцию EMBED Equation.3 удобно задавать в аналитической форме, при выборе которой необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах.

Экспериментально установлено, что степенной закон

EMBED Equation.3 (2.68)

является часто наиболее приемлемым, где К и т – константы материала при испытаниях в заданных условиях.

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис. 13. Деформационные кривые сухой глины

(1, 2, 3 – соответственно при EMBED Equation.3 = 92, 29,13 МПа

В качестве примера на рис.13 показаны диаграммы EMBED Equation.3 , построенные для высушенной на воздухе глины при нескольких значения всестороннего давления EMBED Equation.3, в табл. 1 – результаты обработки этих диаграмм.

Таблица 1

EMBED Equation.3 , МПа	Е, 103, МПа	EMBED Equation.3 , МПа	EMBED Equation.3 , МПа	K, МПа	m	EMBED Equation.3 , %
13	1	20	36	107	0,4	14
29	1,1	22	46	132	0,4	18
92	3	30	93	229	0,4	13

( EMBED Equation.3 - общая деформация до разрушения)

Параметры K и т определялись следующим образом. Кривые на рис. 13 перестраивались в логарифмических координатах EMBED Equation.3 , и после сравнения полученной прямой с зависимостью EMBED Equation.3определялись искомые параметры.

При осевом нагружении цилиндрического образца изменяется и его поперечный размер, определяемый деформацией EMBED Equation.3 .

Величина v, равная отношению абсолютных значений поперечной деформации EMBED Equation.3 к продольной EMBED Equation.3в упругой области при осевом нагружении образца, называетсякоэффициентом Пуассона.

Способность твердых тел сжиматься (уплотняться) или расширяться (разуплотняться) устанавливается диаграммой всестороннее давление – объемная деформация EMBED Equation.3 . Экспериментально установлено, что в широком диапазоне давлений зависимость EMBED Equation.3можно принимать в виде

EMBED Equation.3 (2.69)

где EMBED Equation.3 - модуль объемного сжатия или расширения в зависимости от вида нагружения.

Определение модуля EMBED Equation.3 эквивалентно определению коэффициента Пуассонаv, так как они связаны зависимостью

EMBED Equation.3 . (2.70)

Отсюда, в частности, следует, что для реальных тел коэффициент Пуассона не может превосходить значения 0,5, т.е. 0 < v < 0,5.

Если для какого-либо тела можно принять v = 0,5, то такое идеальное тело принято называть несжимаемым, так как согласно (2.70), EMBED Equation.3 .

EMBED Photoshop.Image.8 \s

Рис. 14. Возможные виды деформационных кривых и соответствующие им формы разрушений для образцов горных пород

Деформационная кривая EMBED Equation.3 может иметь разнообразный вид в зависимости от свойств материала и внешних условий. По этой кривой находят не только основные механические параметры тела, но и устанавливают определяющее его свойство – меру пластичности. Существуют различные классификации тел. Рекомендуется, например, следующая, довольно полная классификация горных пород [Справочник физических констант горных пород под редакцией С. Кларка]:

а) очень хрупкая (рис.14, кривая 1), когда деформация, по существу, упругая до внезапного разрыва, характеризуемого образованием трещин отрыва перпендикулярно к наименьшему главному напряжению; накопленная при этом деформация не выше 1%;

б) хрупкая (кривая 2), когда наблюдается малая пластическая деформация до разрыва и образуются трещины отрыва и скола; накопленная деформация составляет 1 – 5%;

в) умеренно хрупкая (кривая 3), когда поведение промежуточное между хрупким и текучим, пик обозначает нарушение без общей потери связности, а разрушение происходит в результате образования трещин скола; накопленная деформация составляет 2 – 8%;

г) умеренно пластическая (кривая 4), когда разрушение сопровождается рассеянной деформацией, а накопленная деформация составляет 5 – 10%;

д) идеально пластическая (кривая 5), когда хорошо выражен предел текучести, сменяющийся постоянным однородным течением; деформация до разрыва более 10%;

е) пластическая с упрочнением (кривая 6), когда предел текучести может быть плохо выражен и процесс сопровождается работой упрочнения; деформация до разрыва более 10%.

Принадлежность горной породы к одному из приведенных типов определяет расчетную математическую модель и предельное состояние. В принципе, этой классификацией можно пользоваться при изучении любого твердого тела.

Среднестатистические значения опытных величин EMBED Equation.3 , соответствующие различным видам (сжатие, растяжение, изгиб, сдвиг) и условиям (температура, давление, влажность, скорости нагружения и др.) испытаний, принимаются в качестве основных механических параметров при кратковременных нагружениях изотропных твердых тел. Важной задачей экспериментального исследования является установление аналитической зависимости этих параметров от указанных факторов.

Многочисленными испытаниями установлено, что рост всестороннего давления и скорости деформирования способствует увеличение параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3и переходу от хрупкого поведения к пластическому, а рост температуры и влажности, снижая предел текучести, препятствует образованию трещин и усиливает текучесть без заметного изменения формы деформационной кривой EMBED Equation.3. Особое значение эти зависимости имеют для горных пород.

В практике инженерных расчетов чаще других используется следующая эмпирическая зависимость предельного значения EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3или EMBED Equation.3) от среднего нормального напряжения EMBED Equation.3, предложенная Э. Хоеком:

EMBED Equation.3 , (2.71)

где с – значение EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3;a, b – константы, являющиеся функциями температуры, влажности и др.

При с = 0 получится зависимость, впервые предложенная Д. Франклином.

Для многих горных пород хорошей аппроксимацией может оказаться линейная зависимость, называемая критерием Мора,

EMBED Equation.3 (2.72)

Примером влияния влажности W на механическую прочность пород может служит понтическая глина. Для этой глины линейная аппроксимация (2.72) вполне приемлема до давления EMBED Equation.3 =50 МПа, а зависимость параметровс и а от влажности показана ниже.

W, %	2	5	11	13
c, МПа	10	7	5	3
а	1,4	4,26	0,5	0

Инженерные расчеты удобно проводить, когда зависимость параметров с, а, b, равно как и K и т в формуле (2.68), от температуры и влажности принята в аналитической форме. Однако таких общепринятых норм в литературе не предложено. Поэтому необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах с требуемой точностью. Например, в формуле (2.68) часто бывает удобным фиксировать показатель т, а коэффициент K считать линейной функцией, или экспонентой.

2. Упругое деформирование изотропных тел при сложно-напряженном состоянии.

При сложно-напряженном состоянии упругое деформирование изотропных тел описывается общими уравнениями состояния, называемыми обобщенным законом Гука:

EMBED Equation.3 (2.73)

т.е. компоненты девиаторов напряжений и деформаций, среднее нормальное напряжение и относительное изменение объема пропорциональны или в эквивалентной форме:

EMBED Equation.3 (2.74)

т.е. компоненты тензора напряжений суть линейные функции компонент тензора деформаций и обратно:

EMBED Equation.3 (2.75)

где EMBED Equation.3 - модуль сдвига; EMBED Equation.3- коэффициент Ламе. Характерно, что коэффициенты пропорциональности в этих общих уравнения определяют параметрами, получаемым при простых видах нагружения.

На основании уравнений (2.73) и формул (1.21), (1.40) выведено полезное соотношение

EMBED Equation.3 , (2.73^/)

т.е. интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна интенсивности деформаций сдвига Г.

Более сложными уравнениями описывается неупругая деформация. В приложениях обычно пользуются упрощенными теориями пластичности.

Наиболее широкое применение получили уравнения состояния деформационной теории пластичности

EMBED Equation.3 (2.76)

или в эквивалентной форме

EMBED Equation.3 , (2.77)

и обратная зависимость

EMBED Equation.3 , (2.78)

которые являются простым обобщением уравнений (2.73) – (2.75).

В уравнениях (2.76) – (2.78) функция g(Г) в силу соотношения EMBED Equation.3 и формулы (2.67) определяется по виду функции EMBED Equation.3, например, подобно формуле (2.68):

EMBED Equation.3 .

Функция EMBED Equation.3 служит коэффициентом в обратном соотношении EMBED Equation.3: например, для степенного закона (2.68)

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 .

В случае несжимаемого тела (v = 0,5) уравнения состояния принимают вид

EMBED Equation.3 .

В состояния пластического течения (см. рис.12 участок АВ), например, при обобщенном критерии Губера – Мизеса, характеризующим переход к пластическим деформациям,

EMBED Equation.3 , (2.79)

в уравнениях (2.76) и (2.77) функцию g(Г) необходимо принять EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3- интенсивность напряжений [см. формулу (1.41)]. В этом случае нельзя однозначно определить компоненты деформации EMBED Equation.3, подобно формуле (2.78), что вполне естественно, если обратить внимание на участок АВ (см. рис. 12), где нет взаимно однозначного соответствия между EMBED Equation.3и EMBED Equation.3.

3. Критерий прочности при кратковременном монотонном нагружении.

Критерий прочности при кратковременном монотонном нагружении – это есть условие перехода какого-либо элемента нагруженного твердого тела в состояние хрупкого разрушения или пластического течения, когда в известной мере исчерпывается несущая способность. При одноосном наряженном состоянии критерий прочности оценивается предельным, или опасным, значением напряжения; например, на рис. 12 это EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3. При переходе к сложному напряженному состоянию исходят из простейшего естественного предположения: уравнение предельного состояния не должно зависеть от выбора системы координат и должно содержать лишь инварианты, характеризующие напряженное состояние. Согласно выводам лекции 1.2, этими инвариантами будутT – интенсивность касательных напряжений; EMBED Equation.3 - среднее нормальное напряжение; EMBED Equation.3- параметр Лоде – Надаи. Поэтому в общем случае критерий прочности определяется некоторой предельной поверхностью EMBED Equation.3

Предложено много различных критериев прочности при сложно-напряженном состоянии изотропных тел. В инженерных расчетах чаще других применяют критерий Шлейхера – Надаи

EMBED Equation.3 , (2.80)

где вид функции в правой части устанавливается экспериментально по данным опытов для конкретных материалов.

В частности, при EMBED Equation.3 из (2.70) следует критерий Губера – Мизеса (2.79) или эквивалентный ему по форме энергетический критерий. Оба этих критерия основаны на гипотезе, по которой процесс разрушения зависит главным образом от изменения формы элемента тела.

При достижении потенциальной энергией формоизменения элемента тела предельного состояния наступает его разрушение или переход к пластической деформации.

Если EMBED Equation.3 , то из условия (2.80) следует обобщенный критерии Мора EMBED Equation.3. Используя формулы разд.2, критерий (2.80) можно сформулировать в терминах максимального касательного EMBED Equation.3и нормального EMBED Equation.3напряжений:

EMBED Equation.3 .

Например, относительно главных координатных осей при условии EMBED Equation.3 , обобщая соотношение (2.71), можно принять

EMBED Equation.3 .

Иногда в качестве критерия разрушения используются ограничения деформаций.

Изучая механическое поведение горных пород, надо иметь в виду присущие им важные особенности: с одной стороны, деформационную и прочностную анизотропию, обусловленную слоистостью, сланцеватостью или направленной трещиноватостью их строения, а с другой – наличием пор или трещин, заполненных пластовой жидкостью, газом или их смесью.

4. Трансверсально-изотропные тела (свойства анизотропии горных пород в плоскости, параллельной напластованию).

При изучении анизотропии горных пород чаще всего ограничиваются изучением свойств горных пород в плоскости, параллельной напластованию, и плоскости, перпендикулярной к напластованию, считаю любое из направлений в этих плоскостях эквивалентным в отношении механических свойств.

Такие тела принято называть трансверсально-изотропными. Ниже приведены упругие постоянные некоторых горных пород, заимствованные из разных литературных источников: Е, Е’ – модули Юнга по направлениям, параллельным напластованию и перпендикулярным к ним; v, v’ – коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие в плоскости напластования при сжатии в той же плоскости и в направлении, перпендикулярном к ней.

Если координатная плоскость EMBED Equation.3 выбрана параллельно плоскости напластования, а ось EMBED Equation.3- перпендикулярно к ней, то обобщенный закон Гука записывается в виде:

EMBED Equation.3 (2.81)

где EMBED Equation.3 - модули сдвига в плоскости EMBED Equation.3и в перпендикулярных к ней плоскостях.

Упругие постоянные горных пород	EMBED Equation.3 МПа	EMBED Equation.3 МПа	EMBED Equation.3	EMBED Equation.3
Алевролит	6,21	5,68	0,29	0,26
Глинистые сланцы	3,16	1,54	0,22	0,22
Песчаник	1,57	0,96	0,21	0,28
Песчанистый сланец	1,07	0,52	0,41	0,20

Для большинства горных пород модули сдвига рекомендуется вычислять по формулам

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 - основной параметр анизотропии.

Упругие постоянные анизотропных тел не инварианты относительно поворота системы координат, т.е. при изменении направления осей координат закон Гука видоизменяется.

Уравнения (2.81) не изменятся только при повороте координатной плоскости EMBED Equation.3 вокруг оси EMBED Equation.3. В остальных случаях они видоизменяются.

Известно, что прочность горных пород на сжатие существенно отличается от прочности на растяжение или сдвиг. Кроме того, прочность может зависеть от направления сжатия, растяжения и сдвига относительно плоскостей напластования. Поэтому, используя результаты нескольких простых опытов, отличающихся видом напряженного состояния и направлением нагружения относительно плоскостей напластования, необходимо определить уравнение предельной поверхности данной горной породы. Для этой цели можно воспользоваться каким-либо обобщенным критерием для анизотропных тел.

Сравнительно простым критерием прочности может служить:

EMBED Equation.3 , (2.82)

который представляет собой обобщение критерия Мора (2.71) относительно главных направлений.

Для хрупкого тела, подчиняющегося этому условию, должно выполняться следующее соотношение между пределами прочности на растяжение EMBED Equation.3 и сжатие EMBED Equation.3в плоскости напластования EMBED Equation.3и направлении EMBED Equation.3, перпендикулярном к ней:

EMBED Equation.3 .

Постоянные А, В и С связаны с пределами прочности формулами вида

EMBED Equation.3

Предложены и более сложные критерии разрушения анизотропных тел, содержащие большое число констант, подлежащих определению на основании опытных данных. Однако использование их вряд ли возможно из-за больших трудностей в проведении опытов.

Из (2.82) как частный случай следует критерий прочности для изотропных тел EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 ,(2.82’) ??????????

где EMBED Equation.3 .

Этот критерий является одним из весьма полезных разновидностей общего критерия (2.80) для оценки прочности горных пород и цементного камня.

5. Трехосное компрессионное испытание горных пород.

Наиболее полное изучение механических свойств горных пород, учитывающее влияние порового (пластового) давления, осуществляется путем трехосного компрессионного испытания, принципиальная схема которого показана на рис. 15, а. Цилиндрический образец диаметром d = 10 – 30 мм и высотой l = 1 – 3d упаковывают в непроницаемую оболочку и помещают в специальную толстостенную стальную камеру, где поддерживаются необходимое всестороннее давление EMBED Equation.3 и температура EMBED Equation.3ºС. Поровое давление EMBED Equation.3поднимается до желаемого значения волюмометром. Осевое дополнительное (дифференциальное) напряжение передается гидравлическим или винтовым прессом через поршень, который входит в верхнюю часть камеры. Изменение свободного объема порового пространства регулируется движением поршня в камере волюмометра, предназначенного для поддержания постоянного порового давления во время деформации образца.

EMBED Photoshop.Image.8 \s Рис. 15. Схема экспериментального изучения деформационных свойств горных пород

В испытаниях на сжатие или растяжение дифференциальное давление EMBED Equation.3 накладывается на гидростатическое EMBED Equation.3, поэтому напряженное состояние в каждой точке образца определяется тремя главными компонентами (рис. 15,б) EMBED Equation.3 .

6. Эффективные напряжения при деформации горных пород.

Опытами доказано, что деформация объема и величина предельного напряжения горной породы зависят исключительно от эффективных напряжений

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 - коэффициент порового давления, характеризующий различную сопротивляемость скелета породы растяжению и сжатию; EMBED Equation.3- модули объемной деформации расширения и сжатия соответственно. В это же время установлено, что изменение формы элемента тела не зависит от порового давления.

Следовательно, для учета поровых (пластовых) давлений необходимо во всех приведенных выше уравнениях состояния и критериях прочности нормальные напряжения EMBED Equation.3 и среднее давление EMBED Equation.3заменить эффективными напряжениями EMBED Equation.3и EMBED Equation.3, оставив без изменения касательные напряжения EMBED Equation.3.

Например, закон Гука (2.75) и критерий прочности (2.80) перепишутся в виде

EMBED Equation.3 ; (2.75’)

EMBED Equation.3 . (2.80’)

В таком случае все исходные уравнения, включая и уравнения движения (2.9), будут содержать суммарные (тотальные) напряжения EMBED Equation.3 . Однако можно поступить иначе: сохранить прежний вид уравнений состояния и предельной поверхности, но дополнить уравнения движения объемной силой, равной EMBED Equation.3. В этом случае под напряжениями следует понимать эффективные напряжения. Ясно, что оба подхода эквивалентны.

Для глин и глинистых пород, склонных к набуханию, компоненты деформации EMBED Equation.3 в уравнениях состояния (2.75’) необходимо дополнить слагаемыми EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3- коэффициент объемного расширения при увлажнении породы; EMBED Equation.3- начальная и текущая влажность породы.

Аналогично учитывается расширение (сжатие) любого твердого тела при нагревании (охлаждении) введением в уравнения состояния слагаемых EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3- коэффициент объемного расширения при нагревании; EMBED Equation.3ºС, EMBED Equation.3ºС – начальная и текущая температура тела.