§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.

1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде

Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси

EMBED Equation.3 ,

(2.30)

Или в проекциях на оси декартовой системы координат

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3,

где EMBED Equation.3 называетсякоэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.

Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В практике принято проницаемость измерять в мкм². Среда имеет проницаемость 1 мкм² если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10^-4 м² расход жидкости, вязкость которой 10^-3 Па^.с, составляет 10^-6 м³/с, т. е. 1мкм² = 10^-12 м².

Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.

Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость

EMBED Equation.3 ,

а Козени получил

EMBED Equation.3 .

Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.

Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения

EMBED Equation.3 ,

неразрывности движения или сохранения массы

EMBED Equation.3 ,

и механического состояния

EMBED Equation.3 ,

в которых отброшены силы инерции EMBED Equation.3 , а сумма сил EMBED Equation.3заменена силами трения Ньютона EMBED Equation.3. Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).

EMBED Equation.3

Имеем симметричный девиатор напряжений

Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от EMBED Equation.3 , т. е.

EMBED Equation.3

(2.31)

где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3и EMBED Equation.3– соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении EMBED Equation.3; EMBED Equation.3и EMBED Equation.3– соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что EMBED Equation.3.

К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного EMBED Equation.3 , заполнения элементарного объема EMBED Equation.3сплошной среды принимает вид

EMBED Equation.3 .

(2.32)

Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3, EMBED Equation.3и EMBED Equation.3. Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины EMBED Equation.3и EMBED Equation.3много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное

классическое уравнение теории фильтрации:

EMBED Equation.3 ,

(2.33)

где EMBED Equation.3 –коэффициент пьезопроводности среды; EMBED Equation.3 – приведенный модуль объемной упругости среды; EMBED Equation.3– оператор Лапласа. Пьезопроводность EMBED Equation.3имеет размерность м²/с.

Если EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При EMBED Equation.3EMBED Equation.3имеем уравнение Лапласа

EMBED Equation.3 ,

(2.34)

которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при EMBED Equation.3 , т. е. при установившемся режиме фильтрации.

Для однозначного определения поля давления EMBED Equation.3 в заданной области EMBED Equation.3, ограниченной поверхностью EMBED Equation.3, необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при EMBED Equation.3)

EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3

(2.35)

и при EMBED Equation.3 граничным условиям:

если на поверхности EMBED Equation.3 (или ее части) задано давление EMBED Equation.3, то

EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3,

(2.36)

если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то

EMBED Equation.3 ,

(2.37)

если поверхность EMBED Equation.3 покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то

EMBED Equation.3 ,

(2.38)

где EMBED Equation.3 – характерный линейный размер; EMBED Equation.3– коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».

Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.

2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.

Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси

EMBED Equation.3 ,

(2.39)

где EMBED Equation.3 – тензор проницаемости.

Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора EMBED Equation.3 , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3,

(2.40)

где EMBED Equation.3 – проницаемости вдоль главных осей EMBED Equation.3анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле

EMBED Equation.3 .

(2.41)

Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации

EMBED Equation.3 .

(2.42)

Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).

Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:

для пространства

EMBED Equation.3

для плоскости

EMBED Equation.3

(2.43)

где EMBED Equation.3 – новые координаты.

Это означает геометрическое преобразование анизотропной области EMBED Equation.3 в некоторую изотропную область EMBED Equation.3, проницаемость которой

EMBED Equation.3

(2.44)

При этом граница EMBED Equation.3 области EMBED Equation.3преобразуется в границу EMBED Equation.3области EMBED Equation.3. Например, область, ограниченная окружностью

EMBED Equation.3 ,

(2.45)

преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом

EMBED Equation.3 .

(2.46)

или в параметрическом виде

EMBED Equation.3 .

где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3- полуоси элипса

Для области EMBED Equation.3 имеем уравнение Лапласа

EMBED Equation.3 ,

решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).

3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.

Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость EMBED Equation.3 , проницаемость EMBED Equation.3, скорость фильтрации EMBED Equation.3и давление EMBED Equation.3, связанные законом Дарси

EMBED Equation.3

(2.47)

и уравнениями неразрывности

EMBED Equation.3

(2.48)

где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;

EMBED Equation.3 .

(2.49)

– интенсивность перетока жидкости между этими системами; EMBED Equation.3 – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.

При этом пористости EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3являются функциями обоих давлений, т.е.

EMBED Equation.3 .

(2.50)

Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:

1. объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять EMBED Equation.3 ;

1. изменение пористости EMBED Equation.3 происходит в основном за счет изменения порового давления EMBED Equation.3и поэтому при небольших изменениях этого давления

EMBED Equation.3 ;

(2.51)

2. проницаемость EMBED Equation.3 , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь EMBED Equation.3;

3. жидкость слабосжимаема так что

EMBED Equation.3 ,

(2.52)

где EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;

4. вязкость жидкости EMBED Equation.3 .

Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.

В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид

EMBED Equation.3 .

Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим

EMBED Equation.3 ,

(2.53)

где EMBED Equation.3 – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; EMBED Equation.3– своеобразная пьезопроводность среды.

Параметр EMBED Equation.3 имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10^-1 до 10⁶ м².

Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению

EMBED Equation.3 ,

(2.54)

где EMBED Equation.3 – параметр, называемыйвременем запаздывания.

Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр EMBED Equation.3 . В пределе, когда EMBED Equation.3, среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.

При жестком режиме фильтрации EMBED Equation.3 или при установившейся фильтрации EMBED Equation.3уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).

Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при EMBED Equation.3 .

Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3.

Если начальные условия и EMBED Equation.3удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления EMBED Equation.3, принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давлениявычисляют поровое давление EMBED Equation.3.

В противном случае задачу следует решать относительно давления EMBED Equation.3 . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.

Если начальное распределение давления EMBED Equation.3 согласовано с граничными условиями EMBED Equation.3вида

EMBED Equation.3 ,

(2.55)

при EMBED Equation.3 , то в таком виде граничная задача и рассматривается.

Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3– невязка существующего граничного условия:

EMBED Equation.3

(2.56)

Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону EMBED Equation.3 . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений EMBED Equation.3и EMBED Equation.3.

После решения граничной задачи относительно порового давления EMBED Equation.3 распределение давления EMBED Equation.3в трещинах определяется по формуле (2.53)

EMBED Equation.3

а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле

(2.55)

EMBED Equation.3

4. При изучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.

Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости EMBED Equation.3 во времени и представляют это уравнение в виде

EMBED Equation.3 .

(2.57)

К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа

EMBED Equation.3

и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси

EMBED Equation.3

(2.58)

где в общем случае EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3- температура.

В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре EMBED Equation.3 с вязкостьюµ=const и плотностью

EMBED Equation.3 ,

(2.59)

где EMBED Equation.3 - постоянные величины.

Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа

EMBED Equation.3 ,

(2.60)

которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.

Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на EMBED Equation.3 , а правую – на некоторое характерное давление EMBED Equation.3, например давление в невозмущенной части пласта.

Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение

EMBED Equation.3 ,

(2.61)

которое аналогично уравнению (2.33), где EMBED Equation.3 . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них EMBED Equation.3на EMBED Equation.3, EMBED Equation.3на EMBED Equation.3.

5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.

Рис. 11. Возможные виды нелинейного закона фильтрации

Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:

1. высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса EMBED Equation.3 превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);

2. ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);

3. малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).

Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации

EMBED Equation.3 ,

(2.62)

а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом

EMBED Equation.3

(2.63)

где, по данным Е. М. Минского, EMBED Equation.3 , а, по данным Б. И. Султанова, EMBED Equation.3; EMBED Equation.3- эффективный диаметр пор; EMBED Equation.3- предельное напряжение сдвига.

В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации

EMBED Equation.3 ,

(2.64)

EMBED Equation.3 ,

(2.65)

которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь EMBED Equation.3 - параметры модели; EMBED Equation.3- характерное значение градиента давления; EMBED Equation.3- безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).