2.5. Метод хорд

Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке , причем и существуют и знакопостоянны и для всех . Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что к графику функции на отрезке, внутри которого находится корень, проводится стягивающая его хорда и вместо точки пересечения графика с осью Ox ищется уже точка пересечения этой хорды с осью Ox. В качестве начального приближения к корню выбирается тот из концов отрезка , в котором функция и ее вторая производная имеют противоположные знаки, т. е.

(2.8)

При этом противоположный конец отрезка будет неподвижен. Этот неподвижный конец отрезка обозначим через C (рис. 2.4). Строя последовательно указанным выше способом хорды и находя их точки пересечения с осью Ox, получаем последовательность приближений искомого корня

,

которая при выполнении отмеченных в начале параграфа условий, будет сходиться к корню уравнения (2.1).

Рис. 2.4. Геометрическая иллюстрация метода хорд

Получим расчетную формулу для метода хорд. Пусть и – предыдущее и последующее приближения корня, C – неподвижная точка. Запишем уравнение прямой (хорды), проходящей через две точки с координатами и . Получим

.

В уравнении положим , тогда и уравнение примет вид

.

Разрешая это уравнение относительно , получим рекуррентную формулу для последовательности приближений корня уравнения (2.1)

(2.9)

При этом погрешность приближения на n-ом шаге определяется следующим неравенством [2], [3]:

(2.10)

где

2.6. Комбинированный метод

Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке , причем и и отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Сравнивая условия выбора начального приближения в методах Ньютона и хорд, несложно заметить, что для одного и того же уравнения в качестве начальных приближений выбираются разные концы отрезка . Учитывая это обстоятельство, можно одновременно приближать к оба конца начального отрезка. При этом один конец отрезка будет уточняться методом Ньютона, а другой – методом хорд. Такой метод решения уравнения называется комбинированным. Геометрическая иллюстрация этого метода дана на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Геометрическая иллюстрация комбинированного метода

Формулы, реализующие комбинированный метод решения уравнения (2.1), вытекают из формул (2.6) и (2.9).

Если выполняется условие , то уточнение отрезка ведется по формулам:

(2.11)

Если же выполняется условие , то уточнение отрезка ведется по формулам:

(2.12)

Процесс вычисления по формулам (2.12) и (2.13) продолжается до тех пор, пока на некотором шаге n не будет выполняться неравенство

. (2.13)

Тогда в качестве приближенного значения корня берется величина

2.7. Задание на лабораторную работу

1. Из табл. 2.1 выбрать свой вариант уравнения и найти его наименьший положительный корень.

Таблица 2.1

Варианты заданий

№	Задание	№	Задание	№	Задание
1		12		23
2		13		24
3		14		25
4		15		26
5		16		27
6		17		28
7		18		29
8		19		30
9		20		31
10		21		32
11		22		33

2. Указать область определения функции , найти и .

3. Графическим методом отделить корни уравнения; найти начальный отрезок длины не более 1, внутри которого находится наименьший положительный корень и такой, что и и отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке.

4. Используя микрокалькулятор, сделать 3–4 шага методом половинного деления, взяв в качестве начального отрезка . Результаты счета фиксировать в таблице.

5. Выбрав получившийся в пункте 4 отрезок в качестве исходного, найти корень уравнения с точностью комбинированным методом. Расчеты вести с помощью микрокалькулятора, результаты фиксировать в таблице.

6. Продолжить выполнение работы в компьютерном классе.

7. Найти корень уравнения с точностью с помощью встроенной функции системы Mathcad.

8. Сравнить результаты машинного решения и полученного комбинированным методом.

9. С помощью компьютера определить число шагов, необходимых для уточнения начального отрезка с точностью до методами половинного деления, Ньютона, хорд и комбинированным методом, и выписать полученные этими методами приближенные значения корня. Выписать также первые и последние три шага из получившихся таблиц методами половинного деления и хорд, а получившиеся таблицы методом Ньютона и комбинированным методом выписать целиком.

10. Оформить отчет, в который входят: титульный лист; область определения функции ; первая и вторая производные и ; отделение корней графическим методом; три шага методом половинного деления; уточнение корня комбинированным методом с точностью до ; уточнение с помощью компьютера с точностью до начального отрезка методами половинного деления, Ньютона, хорд и комбинированным методом.