- •Лабораторные работы по высшей математике
- •432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
- •Оглавление
- •4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39
- •5.1. Постановка задачи …………………………………………….. 50
- •5.6. Задание на лабораторную работу …………………………….. 54
- •Инструкция по технике безопасности
- •Введение
- •Пакет программ лабораторных работ
- •1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Задание на лабораторную работу
- •1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •1.4. Пример выполнения работы
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Метод хорд
- •2.6. Комбинированный метод
- •2.7. Задание на лабораторную работу
- •2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •2.9. Пример выполнения работы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Вычисление определенных интегралов
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Методы прямоугольников и трапеций
- •3.3. Метод Симпсона
- •3.4. Оценка погрешностей методов
- •3.5. Задание на лабораторную работу
- •3.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •3.6. Пример выполнения работы
- •3.8. Вопросы для самоконтроля
- •4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод Эйлера
- •4.3. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Выбор шага интегрирования
- •4.5. Задание на лабораторную работу
- •4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •4.7. Пример выполнения работы
- •Точное решение задачи Коши
- •4.8. Вопросы для самоконтроля
- •5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Выбор типа кривой
- •5.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
- •5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
- •5.6. Задание на лабораторную работу
- •5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •5.8. Пример выполнения работы
- •Определение коэффициентов нормальной системы уравнений
- •5.9. Вопросы для самоконтроля
- •6. Прикладной математический пакет «mathcad»
- •6.1. О программе
- •6.2. Основные понятия и функции
- •6.3. Операторы математического анализа
- •6.4. Функции и операторы матриц
- •6.5. Создание декартовых графиков на плоскости
- •6.6. Программные блоки
- •Библиографический список
6.3. Операторы математического анализа
Нахождение производной первого порядка осуществляется по нажатию клавиш ‘Shift’+‘/’. При этом производную можно вычислить либо в точке, либо получить ее аналитическое выражение. Например, производная в точке
а аналитически
.
Если задана функция нескольких переменных, то данный оператор вычисляет частную производную по указанной переменной
Для нахождения производных высших порядков необходимо нажать ‘Ctrl’+‘Shift’+‘/’ и задать порядок производной, переменную дифференцирования и функцию. Например,
.
Для вычисления смешанных производных функции нескольких переменных необходимо находить производную по одной переменной от производных по другим переменным. Например,
Нахождение неопределенных интегралов, если это возможно, осуществляется по нажатию ‘Ctrl’+’I’. Например,
.
Для вычисления определенных интегралов необходимо нажать ‘Shift’+‘7’ и ввести пределы интегрирования, подынтегральную функцию, переменную интегрирования. После нажатия знака ‘=’ получим числовой результат. Например,
.
Все описанные символы операторов математического анализа можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View Toolbars Calculus или Вид Панели инструментов Исчисления).
6.4. Функции и операторы матриц
Самый простой способ создания массива чисел состоит в создании массива из пустых полей и их последующем заполнении. Для этого нажмите ‘Ctrl’+’M’, чтобы вызвать диалоговое окно и определите в нем нужное количество строк и столбцов. Нажмите «OK», чтобы создать массив пустых полей. Щелкните на поле, чтобы выделить его, затем введите требуемое значение. Для перемещения между полями можно также использовать клавишу «Tab».
При определении больших массивов, для каждого элемента которых существует формула, через которую он выражается, удобнее использовать дискретные аргументы. Например, зададим двумерный массив (матрицу)
(чтобы набрать последнюю формулу, необходимо с клавиатуры набрать ). После этого можно просмотреть получившуюся матрицу целиком, набрав , или любой элемент матрицы, набрав , и на экране автоматически появится
.
Для задания векторов необходимо указывать только один индекс. Например,
При обращении к матрице необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 0. Например, если хотим получить элемент, стоящий на пересечении 2-й строки и 3-го столбца, необходимо запросить элемент .
Операторы, определенные для векторов и матриц: сложение – ‘+’; векторное произведение – ‘Ctrl’+’8’; определитель – ‘|’; скалярное произведение – ‘*’; обратная матрица – ‘^-1’ (т.е. возведение в степень –1); степени матриц – ‘^’; умножение – ‘*’; нижний индекс – ‘[‘; вычитание – ‘– ‘; суммирование элементов – ‘Ctrl’+’4’; верхний индекс – ‘Ctrl’+’6’; транспонирование – ‘Ctrl’+’1’.
Встроенные функции, определенные для матриц:
rows(A) – число строк матрицы A;
cols(A) – число столбцов матрицы A;
max(A) – максимальный элемент матрицы A;
min(A) – минимальный элемент матрицы A;
rank(A) – ранг матрицы A;
rref(A) – приведение матрицы A к ступенчатому виду;
length(B) – количество элементов вектора B;
augment(A,B) – объединение матриц A и B (добавлением матрицы B справа к матрице A);
submatrix(A,a,b,c,d) – возвращает матрицу, состоящую из всех элементов, которые содержатся в строках с a по b и столбцах с c по d матрицы A;
lsolve(A,B) – решение системы линейных уравнений с матрицей системы A и столбцом свободных элементов B.
Все описанные операторы (кроме встроенных функций) можно ввести с помощью мыши из всплывающего меню (View Toolbars Matrix или Вид Панели инструментов Матрицы).