3.4. Оценка погрешностей методов
Полученные формулы интегрирования обычно дают приближенный результат. Можно показать [1]–[3], что абсолютная погрешность при вычислении интеграла (3.1) методами правых, левых и средних прямоугольников, трапеций и Симпсона удовлетворяет неравенствам:
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
где
(3.15)
В ряде
случаев получить оценки
и
оказывается сложным. Тогда их удобнее
выразить через конечные разности
:
(3.16)
где
(3.17)
С учетом этого неравенства (3.10)–(3.14) примут вид:
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
Из условий (3.10)–(3.14) следуют ограничения на выбор величины шага h или на число отрезков интегрирования n. В частности,
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
При этом n должно быть целым, а для метода Симпсона еще и четным.
Проверить, достигнута ли требуемая точность метода, и заодно определить необходимую величину шага можно по методу Рунге, который заключается в следующем. Выполняются два вычисления значения интеграла – одно с выбранным шагом h, другое – с шагом h/2. Если выполняется неравенство
(3.27)
где
для формул средних прямоугольников и
трапеций,
для формулы Симпсона, то результат
вычисления дает приближенное значение
интеграла с требуемой точностью
.
Если неравенство (3.27) не выполняется,
то начальный шаг интегрирования нужно
уменьшить в два раза и опять повторить
вычисления. Практически для оценки
точности вычислений можно пользоваться
правилом: совпадающие десятичные знаки
у значений интеграла, вычисленные с h
и h/2, принадлежат
точному значению интеграла.
Полная
погрешность вычисления интеграла
складывается из суммы погрешности
округлений
(где
– максимальная ошибка округления
значений подынтегральной функции) и
погрешности метода.
3.5. Задание на лабораторную работу
Из табл. 3.1 выбрать свой вариант задания.
Таблица 3.1
Варианты заданий
-
№
a
b
№
a
b
1
0,2
0,44
16
0,5
1,3
2
0,3
0,7
17
0,1
0,9
3
0,5
1,7
18
0,5
1,3
4
0,6
1,8
19
0,2
1,0
5
3,0
4,6
20
0,1
0,9
6
1,7
2,9
21
0,2
1,0
7
2,0
2,8
22
8
15,2
8
1,7
2,5
23
3
6,2
9
0,4
1,2
24
0,1
0,9
10
0,1
0,9
25
0,1
0,9
11
0,4
1,2
26
40,0
42,4
12
0,4
1,2
27
0,2
1,0
13
0,4
1,2
28
0,3
1,1
14
0,2
1,0
29
0,1
0,9
15
0,3
1,1
30
0,8
1,2
Составить таблицу значений функции и конечных разностей, предварительно разбив отрезок интегрирования на 8 частей.
Вычислить на микрокалькуляторе значение определенного интеграла по формулам трапеций и Симпсона. Провести оценку погрешности полученных значений интеграла. Сравнить результаты.
Продолжить работу в компьютерном классе.
Выписать точное значение интеграла и найти абсолютные погрешности найденных с помощью калькулятора значений методами трапеций и Симпсона.
Выписать, полученные на компьютере число точек разбиения n отрезка интегрирования
,
обеспечивающее точность
методов левых и правых прямоугольников
и значения интеграла при этих значениях
n.Выписать, полученные на компьютере число точек разбиения n отрезка интегрирования , обеспечивающее точность
методов средних прямоугольников,
трапеций и Симпсона и значения интеграла
при этих значениях n.Используя полученные данные, оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица значений функции и конечных разностей; значения интеграла и погрешности методов трапеций и Симпсона для n=8; полученное с помощью компьютера точное значение интеграла; вычисленные на МК абсолютные погрешности найденных значений интеграла; найденное на ЭВМ число точек разбиения, обеспечивающее точность методов правых и левых прямоугольников; число точек разбиения, обеспечивающее точность методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона; значения интегралов этих методов и их абсолютные погрешности.