4.2. Метод Эйлера

Метод Эйлера состоит в следующем. Отрезок , на котором ищется приближенное решение, делится точками

на n равных частей, где – шаг интегрирования дифференциального уравнения. Зная значение решения в точке , можно найти приближенно в точках по следующей рекуррентной формуле:

(4.3)

Геометрически в методе Эйлера искомую интегральную кривую на интервале заменяем отрезком касательной к этой интегральной кривой в точке (рис. 4.2). Уравнение касательной имеет вид

где . Поэтому ордината касательной в точке равна , т. е. получили формулу (4.3) для случая . Далее строим касательную в точке к интегральной кривой 2, которая уже не совпадает с искомой. Находим ординату касательной в точке , получаем формулу (4.3) уже при . И так до тех пор, пока не достигнем конца отрезка b (рис. 4.3).

Рис. 4.2. Графическая иллюстрация метода Эйлера

1 – искомая интегральная кривая, 2,3 – другие интегральные кривые

Рис. 4.3. Графическая иллюстрация метода Эйлера

1 – ломаная Эйлера, 2 – искомая интегральная кривая

Для оценки локальной погрешности метода Эйлера в точке используется неравенство [1]–[3]

(4.4)

где – точное значение решения задачи Коши в точке , а – приближенные значения решения, вычисленные по формуле (4.3) с шагами и соответственно. Из неравенства (4.4) следует, что для достижения необходимой точности нужно просчитать значение по формуле (4.3) с шагом , а затем, уменьшив шаг вдвое, снова повторить расчеты. Если при этом окажется, что для всех выполняется неравенство: то на шаге достигнута необходимая точность.

4.3. Метод Рунге-Кутта

Метод Эйлера прост в реализации, но обладает сравнительно небольшой точностью. Поэтому для решения задачи Коши с повышенной точностью обычно используют метод Рунге-Кутта [1]–[3].

Как и прежде, разбиваем отрезок интегрирования на n равных частей. Зная значения – решение задачи Коши в точке , будем искать значение решения в точке по следующей формуле Рунге-Кутта:

(4.5)

где

(4.6)

Вычисления по формулам (4.5), (4.6) выполняются в следующем порядке. Для начальной точки , где , вычисляют , затем последовательно и . После этого все значения подставляются в формулу (4.5) и находится при . Далее процесс продолжается аналогично до конца отрезка .

Для оценки локальной погрешности метода Рунге-Кутта используется уже неравенство [2], [3]:

(4.7)

где имеют тот же смысл, что и в неравенстве (4.4).

4.4. Выбор шага интегрирования

Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага интегрирования h. Можно доказать [2], [3], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h, а метода Рунге-Кутта – порядок . Т. е. для достижения одной и той же точности в методе Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта.

Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на примере метода Рунге-Кутта. Пусть – заданная точность решения задачи Коши. Поскольку (где c=const), то начальное значение можно выбрать из неравенства

(4.8)

При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо одновременное выполнение условия:

(целое число). (4.9)

Кроме того, для подсчета погрешности метода Рунге-Кутта по формуле (4.7), нужно будет сделать просчет по формулам (4.5), (4.6) с шагом 2h. Поэтому необходимо также, чтобы отношение было четным.

После выбора начального значения шага проводится его уточнение. Для этого из точки просчет по формулам (4.5), (4.6) выполняется дважды сначала с шагом h, а затем из той же точки с шагом 2h. При этом получаются два значения решения задачи ( и ) в одной и той же точке . Если , то можно выбрать в качестве шага интегрирования, иначе необходимо уменьшить h в два раза и повторить процедуру проверки.