Точное решение задачи Коши

2,0	1,0000000000
2,2	1,1307465872
2,4	1,2877847424
2,6	1,4757530270
2,8	1,7003752743
3,0	1,9686608656
3,2	2,2891619457
3,4	2,6722961416
3,6	3,1307469976

И по этим значениям строим график точного решения (рис. 4.5)

Рис. 4.5. График точного решения, полученного с помощью компьютера

6. Используя значения табл. 4.4, вычисляем локальные абсолютные погрешности, с которыми найдены приближенные решения по методу Эйлера и Рунге-Кутта (табл. 4.5).

Таблица 4.5

Таблица погрешностей решений задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта

	(точное решение)	(метод Эйлера)		(метод Рунге-Кутта)
2,0	1,0000000000	1,000	0,0000000	1,000000	0,0000000
2,2	1,1307466119	1,119	0,0117466
2,4	1,2877848040	1,260	0,0277847	1,287770	0,0000147
2,6	1,4757531434	1,428	0,0477530
2,8	1,7003754702	1,626	0,0743753	1,700330	0,0000453
3,0	1,9686611750	1,860	0,1086609
3,2	2,2891624149	2,135	0,1541619	2,289057	0,0001049
3,4	2,6722968333	2,460	0,2122961
3,6	3,1307479958	2,843	0,2877470	3,130528	0,0002190

Находим максимум величин и , определяем, что локальная погрешность решения методом Эйлера в точках , полученного с шагом , не превышает

,

а локальная погрешность решения методом Рунге-Кутта, полученного с шагом , не превышает

.

То есть даже небольшое количество точек разбиения отрезка интегрирования обеспечивает малую погрешность решения методом Рунге-Кутта.

7. Подставив , получим с помощью компьютера решение задачи Коши методом Рунге-Кутта и, используя уже найденное решение для , определим по формуле (4.7) относительную погрешность.

Таблица 4.6

Относительная погрешность решения методом Рунге-Кутта

2,0	1,000000	1,000000	0,000
2,2	1,130746
2,4	1,287784	1,287770	0,000014
2,6	1,475751
2,8	1,700372	1,700330	0,000042
3,0	1,968656
3,2	2,289155	2,289057	0,000098
3,4	2,672286
3,6	3,130733	3,130528	0,000205

Находим максимум величин , определяем, что относительная погрешность решения, полученного с шагом , не превышает

8. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.