- •Лабораторные работы по высшей математике
- •432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
- •Оглавление
- •4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39
- •5.1. Постановка задачи …………………………………………….. 50
- •5.6. Задание на лабораторную работу …………………………….. 54
- •Инструкция по технике безопасности
- •Введение
- •Пакет программ лабораторных работ
- •1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Задание на лабораторную работу
- •1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •1.4. Пример выполнения работы
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Метод хорд
- •2.6. Комбинированный метод
- •2.7. Задание на лабораторную работу
- •2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •2.9. Пример выполнения работы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Вычисление определенных интегралов
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Методы прямоугольников и трапеций
- •3.3. Метод Симпсона
- •3.4. Оценка погрешностей методов
- •3.5. Задание на лабораторную работу
- •3.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •3.6. Пример выполнения работы
- •3.8. Вопросы для самоконтроля
- •4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод Эйлера
- •4.3. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Выбор шага интегрирования
- •4.5. Задание на лабораторную работу
- •4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •4.7. Пример выполнения работы
- •Точное решение задачи Коши
- •4.8. Вопросы для самоконтроля
- •5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Выбор типа кривой
- •5.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
- •5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
- •5.6. Задание на лабораторную работу
- •5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •5.8. Пример выполнения работы
- •Определение коэффициентов нормальной системы уравнений
- •5.9. Вопросы для самоконтроля
- •6. Прикладной математический пакет «mathcad»
- •6.1. О программе
- •6.2. Основные понятия и функции
- •6.3. Операторы математического анализа
- •6.4. Функции и операторы матриц
- •6.5. Создание декартовых графиков на плоскости
- •6.6. Программные блоки
- •Библиографический список
1.4. Пример выполнения работы
Найти решение методом Гаусса системы , где
Выполняем расчеты с помощью МК.
Сначала выбираем максимальный по модулю элемент среди элементов первого столбца матрицы A. Он равен 8,30 и находится в первом уравнении. Поэтому нет необходимости в перестановке строк.
Заносим коэффициенты системы в первые 4 строки бланка расчета в столбцах, отмеченных буквами (табл. 1.2).
Суммируем элементы в каждой строке и записываем сумму в последний, контрольный столбец, обозначенный .
Заполняем далее столбец (m – номер уравнения, m=2,3,4). Во второй – четвертой строках этого столбца записываем числа, которые вычисляются по формулам (1.5):
Первые 4 строки бланка заполнены полностью (табл. 1.2).
Для получения следующих трех строк применим формулы (1.6). Так элементы первой из этих строк будут равны
Для выполнения контроля суммируем элементы этой строки (кроме последнего). Получаем
2,311253 + 0,598314 + 6,484097 – 5,644710 = 3,754254.
Сравниваем этот результат с . Отличие наблюдается лишь в последнем десятичном знаке, значит наши вычисления верны. Аналогично находим и контролируем элементы остальных строк. Первый цикл закончен. Для выполнения второго цикла необходимо выбрать новую ведущую строку по коэффициентам при . Это будет уже вторая строка ( ). Переставляем ее на место первой и повторяем уже проделанные расчеты; и так до окончания прямого хода.
Таблица 1.2
Расчетный бланк метода Гаусса
Номер Цикла |
m |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
1 2 3 4 |
0,266265 0,472289 0,454217 |
8,30 2,21 3,92 3,77 |
3,12 3,15 8,45 7,71 |
4,10 1,69 7,28 8,04 |
1,90 6,99 2,46 2,28 |
– 10,15 – 8,35 12,21 14,95 |
7,27 5,69 34,32 36,75 |
Конеццикла |
2 3 4 |
|
0 0 0 |
2,319253 6,976458 6,292844 |
0,598314 5,343615 6,177711 |
6,484097 1,562651 1,416988 |
– 5,647410 17,003734 19,560300 |
3,754254 30,886458 33,447843 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=2 |
2 3 4 |
0,332440 0,902011 |
0 0 0 |
6,976458 2,319253 6,292844 |
5,343615 0,598314 6,177711 |
1,562651 6,484097 1,416988 |
17,003734 – 5,647410 19,560300 |
30,886458 3,754254 33,447843 |
Конеццикла |
3 4 |
|
0 0 |
0 0 |
– 1,178117 1,357711 |
5,964609 0,007460 |
– 11,300129 4,222742 |
– 6,513637 5,587913 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=3 |
3 4 |
– 0,867723 |
0 0 |
0 0 |
1,357711 – 1,178117 |
0,007460 5,964609 |
4,222742 – 11,300129 |
5,587913 – 6,513637 |
Конеццикла |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
5,971082 |
– 7,635959 |
– 1,664877 |
6. После этого выполняем обратный ход метода Гаусса. Находим неизвестные:
7. Выписываем полученное решение:
8. Так как в ходе решения вычисления выполнялись с округлением, то полученные значения неизвестных являются неточными. Поэтому для контроля расчета вычислим невязки, представляющие собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы:
Так как матрица системы хорошо обусловлена (во всех вариантах это условие выполняется) и невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно.
9. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab1.mcd. Вводим столбец свободных элементов и матрицу системы уравнений:
С помощью встроенной функции (см. п. 6.4) пакета Mathcad для нахождения решения определенных систем линейных уравнений находим «точное решение»
.
10. Выписываем полученное на компьютере решение
и вычисляем абсолютные погрешности, с какими найдены неизвестные в приближенном решении:
т. е. все погрешности меньше и решение найдено достаточно точно.
11. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.