7.3. Помилки вибірки.

Помилка вибірки  це абсолютна величина різниці між вибірковою і генеральною характеристиками. Природа виникнення помилок полягає в тому, що вибіркова сукупність на точно відтворює генеральну сукупність.

Наведемо основні умовні позначення. Чисельність одиниць генеральної сукупності позначається через N, вибіркової  n. Узагальнюючі характеристики генеральної сукупності  середня, дисперсія, частка  називаються генеральними і відповідно позначаються . Узагальнюючі характеристики вибіркової сукупності мають назву вибіркових і відповідно позначаються W.

Теорія обчислення випадкових помилок базується на працях видатних вчених Я.Бернуллі, С.Пуассона, П.Л.Чебишева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова та ін.

Як і сама вибіркова характеристика, похибка вибірки є випадковою величиною. Розмір випадкової похибки вибірки визначається згідно із граничними теоремами ймовірностей.

Розрізняють середню та граничну похибку вибірки.

Під середньою ( стандартною ) похибкою вибірки розуміють таке розходження між вибірковою і генеральною середньою, яке не перевищує розмір середнього квадратичного відхилення. Максимально можливе розходження  називають граничною похибкою вибірки, тобто це максимальний рівень помилки при заданому рівні ймовірності.

Існують дві формули середньої похибки вибірки - для середньої та частки

( за принципом повторного та безповторного відбору ).

Формули для обчислення середньої похибки вибірки

Схема відбору

Середня помилка вибірки

для середньої

Середня помилка вибірки для частки

Повторний

Безповторний

Формула похибки при безповторній відрізняється від відповідної формули при повторній вибірці тільки множником (1  ). Це зумовлене тим, що при безповторній вибірці одиниці не повертаються у генеральну сукупність і її чисельність поступово зменшується. Так як вибіркова сукупність n завжди менша ніж генеральна N, то додатковий множник 1  завжди буде менше одиниці, а абсолютне значення помилки при безповторному відборі буде менше, ніж при повторному.

Гранична похибка вибірки пов’язана з середньою помилкою вибірки рівнянням Δ= t μ, де t – коефіцієнт довіри. Коефіцієнт довіри t залежить від рівня ймовірності. При рівні ймовірності P=0,954 коефіцієнт довіри t=2; при рівні ймовірності P=0,997 коефіцієнт довіри t=3.

Середня і гранична похибки вибірки – величини іменовані. Вони виражаються в тих самих одиницях вимірювання, що й середня арифметична і середнє квадратичне відхилення.

Межі середньої характеристики в генеральній сукупності становлять:

для середньої – ±Δ.;

для частки – P=W±Δ.

Наприклад, за даними 10-% повторного відбору необхідно визначити з ймовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та довірчий інтервал, в якому знаходиться середній термін слухби обладнання.

Таблиця 7.3.1.

Вихідні та розрахункові дані

Термін служби обладнання, років	Кількість обладнання	х	xn
До 4	25	2	50	625
4 – 8	40	6	240	40
8 – 12	20	10	200	180
12 - 16	15	14	210	735
∑	100	х	700	1580