ANSYS Mechanical

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

•Элементы “узел-поверхность”

•Элементы “узел-узел”

•Контакт деформируемых тел

•Контакт деформируемого тела с жестким

9 Граничные условия

•Для геометрической и для КЭ-моделей (заданные перемещения и кинематические связи групп узлов)

•Начальные условия

•Ввод нагрузок в форме таблиц или функций

•Тепловые нагрузки

•Преднапряжение

9Модели материалов

•Упругие изотропные, трансверсально-изотропные, ортотропные

•Пластичность металлов (теория течения с различными упрочнениями)

•Гиперупругость (несжимаемые резиноподобные)

•Вязкопластичность металлов

•Ползучесть металлов

•Образование трещин в бетоне и железобетоне

•Нелинейная модель грунта (Друкера-Прагера)

•Пользовательские материалы (нелинейная модель кирпичной кладки, деревянные клееные)

9Конечные элементы

•Объемные КЭ (“солиды”)

•Оболочечные элементы

•Балочные КЭ

•Трубы

•2D и 3D гиперупругие

•2D и 3D оболочки и “солиды” для тепловых задач

•Многоточечные MPC

•2D и 3D контактные

•2D и 3D поверхностного эффекта

•Опция “рождение-смерть”

9Теплопередача

•Стационарные и нестационарные задачи

•Теплопроводность

•Теплообмен конвекцией

9Многодисциплинарные связанные задачи

•Теплообмен + Прочность

9Оптимизация

•Оптимизация параметров

•Параметрическое моделирование

9Дополнительные возможности

•Циклическая симметрия

•Субмоделирование (дополнительный анализ зон конструкции)

•Модальный синтез

•Суперэлементы/подконструкции

9Методы решения

•СЛАУ

•Прямой разреженный метод (Sparse)

•Итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием

(PCG)

•Решение задач на собственные значения

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

•Блочный метод Ланцоша

•Метод Ланцоша-PCG

•Метод итераций в подпространстве

•Решение нелинейных задач

•Метод Ньютона-Рафсона

•Метод окаймляющих дуг (Arc-length)

•Интегрирование нестационарных уравнений теории поля (теплопроводность и т.п.)

•“Метод трапеций” (Hughes)

•Интегрирование уравнений динамики

•Метод Ньюмарка

•Метод HHT (Hilbert-Hughes-Taylor)

•Спектральный расчет

•Суперэлементные алгоритмы

•Контактные взаимодействия

•Метод штрафных функций

•Метод множителей Лагранжа

•Расширенный метод множителей Лагранжа

•Оптимизация

•Метод аппроксимации подзадачи

•Метод 1-го порядка

4.3Реализация верифицируемых типов решаемых задач (виды расчетов) в ПК

ANSYS Mechanical

Численное моделирование статического, температурного и динамического напряженно-деформированного состояния зданий, сооружений и конструкций без какихлибо существенных ограничений в ПК ANSYS основано на реализации метода конечных элементов (МКЭ) в форме перемещений. Для решения основной системы уравнений формируются глобальные матрицы жесткости [K], демпфирования [C] и матрицы масс [M], а также вектор внешней узловой нагрузки {F}.

4.3.1Линейная статика

Для задач линейной статики решается следующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

или

где:

[K] – глобальная матрица жесткости

N

[K ]= ∑[Ke ];

m=1

{u} – вектор узловых перемещений; N – количество элементов;

[Ke] – элементная матрица жесткости;

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

{Fr} – вектор реакций от нагрузки;

{Fa} – вектор глобальной внешней нагрузки,

{F a }= {F nd }+{F ac }+ ∑N ({Feth }+{Fepr })

m=1

где:

{Fnd} – вектор приложенной узловой нагрузки; {Fac} – вектор инерционных сил,

{F ac }= [M ] {ac }

где:

[M] – глобальная матрица масс,

N

[M ]= ∑[Me ]

m=1

[Me] – элементная матрица масс; {ac} – глобальный вектор ускорений;

{Feth} – вектор температурной нагрузки в пределах одного элемента; {Fepr} – вектор давлений в пределах одного элемента.

Решение системы линейных уравнений (1) или (2) в программе осуществляется прямыми (Разреженный Sparse, Фронтальный Frontal) или итерационными (Сопряженных градиентов с предобуславливанием PCG, Сопряженных градиентов Якоби JCG, Сопряженных градиентов с неполным разложением Холецкого ICCG) методами.

В рамках верификации были рассмотрены наиболее эффективные универсальные схемы:

1)прямой разреженный метод (Sparse)

2)итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием (PCG).

4.3.1.1Прямой разреженный метод (Sparse Direct Solver)

Линейные матричные уравнения (1) решаются триангуляцией матрицы жесткости [K] для получения следующего уравнения:

Искомый вектор узловых перемещений {u} определяем, предварительно решив СЛАУ относительно {w}:

а затем

в свою очередь

где [D] – диагональная матрица, члены которой могут быть отрицательными для некоторых нелинейных задач, что позволяет сформировать матрицу [L′] без учета квадратного корня из отрицательного числа. Поэтому уравнения (3)-(6) можно представить в виде:

В том случае, когда матрица [K] редкозаполненная с коэффициентами, расположенными, в основном, вокруг главной диагонали, прямой разреженный метод предназначен для обработки только ненулевых элементов матрицы [K]. В целом, в ходе разложения Холецкого матрицы [K], (3) или (9), матрицы [L] или [L'] заполняются ненулевыми коэффициентами, расположенными на нулевых позициях матрицы [K]. Эффективность прямого разреженного метода определяется максимальной оптимизацией вышеописанного процесса.

4.3.1.2Итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием

(Preconditioned Conjugate Gradient)

Итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием (PCG) является эффективным и надежным для всех типов расчетов. PCG метод применим только для симметричных матриц жесткости.

Решается основная система линейных уравнений (1). Вектор узловых перемещений ищется в виде:

где m ≤ n, где n – размер матрицы.

Алгоритм метода сопряженных градиентов реализован следующим образом (14):

{u0 }= {0} {R0 }= {F}

{z0 }= [Q]−1 {F}

Do i = 1, n

If(Norm (R)≤ ε 2 ) then

Set {u}={ui-1} Quit loop

Else

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

{R1 }={R0 }+α1 [K ] {p1 }

Else

Applying preconditioning:{zi-1}=[Q]-1{Ri-1}

{Ri }= {Ri−1 }+αi [K ] {pi }

Endif

Endif

End loop

Условие сходимости:

где:

ε – точность, заданная пользователем;

{Ri }= {F}−[K ] {ui }

{ui} – вектор решений на i-ой итерации. Вектор {u0} может быть нулевым.

4.3.2 Стационарные задачи теплопроводности (фильтрации)

Для стационарных задач теплопроводности (фильтрации) решаем СЛАУ (1) или (2), подставляя вместо глобальной матрицы [K ] матрицу теплопроводности, вместо вектора

перемещений {u} – искомый вектор узловых температур {T}, а вместо вектора приложенной глобальной внешней нагрузки {F a }– {Qa }, где

{Qa }= {Qnd }+ ∑N ({Qe }+{Qeg }+{Qec }), m=1

4.3.3Собственные частоты и формы колебаний

Уравнение движения для задач определения собственных частот и форм колебаний без учета демпфирования имеет вид:

Эффекты преднапряженного состояния могут быть учтены в матрице жесткости [K ]

(команда PSTRES,ON).

Через полученные значения круговых частот собственных колебаний {ω} можно выразить частоты собственных колебаний {f}:

Проблема собственных частот и форм колебаний может быть решена одним из методов, реализованных в ПК ANSYS Mechanical:

•Редуцированный метод;

•Метод итераций в подпространстве;

•Прямой блочный метод Ланцоша;

•Метод Ланцоша–PCG;

•Несимметричный метод;

•Метод демпфирования;

•QR-разложение для задач с демпфированием.

Врамках настоящей верификации рассмотрены наиболее эффективные для задач большой размерности:

1) метод итераций в подпространстве;

2) прямой блочный метод Ланцоша;

3) метод Ланцоша-PCG.

4.3.3.1Метод итераций в подпространстве

Основной алгоритм метода итераций в подпространстве выглядит следующим образом:

1.Определение так называемых «сдвигов» s. В случае частотного анализа (ANTYPE,MODAL),) s = FREQB – низшая частота в частотном диапазоне.

2.Инициализация начальных векторов [X 0 ].

Количество начальных векторов (итераций) определяется равенством

где:

p – необходимое количество вычисляемых форм;

d – дополнительное число итерируемых векторов (по умолчанию d = 4)

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

[K ] – глобальная матрица жесткости системы;

[M ] – глобальная матрица масс (для модального анализа).

В качестве проверки используется свойство последовательности Штурма со сдвигом

s.

4.Для каждой итерации в подпространстве n от 1 до NM выполняются нижеследующие пункты 5-14. NM – максимальное количество итераций в подпространстве.

5.Формируется

[F ]масштабируется по {λn−1}, где {λn−1} – предварительно оцениваемый вектор собственных значений.

6.Прямым фронтальным методом (EQSLV,FRONT) решается система уравнений

(29)относительно [X n ]:

7.Вектор [X n ] масштабируется {(λn−1 − s) / λn−1}.

8.Для сохраниения численной устойчивости проводится ортогонализация по Граму-Шмидту.

9.Определяются матрицы подпространства [K ] и [M ]:

13.Если найдены отрицательные или лишние формы колебаний, их нужно удалить

исоздать новый случайный вектор.

14.Анализ сходимости полученных приближений:

• Если для всех форм сходимость достигается:

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

где:

(λi )n – i-е собственное значение, вычисленное на n-ой итерации;

(λi )n−1 – i-е собственное значение, вычисленное на (n-1)-ой итерации;

1.0

B = ( ) – выбирается наибольшее значение;

λi n

tol – предел сходимости, равный 10-5, то переходим к пункту 15.

•Если требуется задать новый сдвиг, возвращаемся к пункту 3.

•Для перехода на следующую итерацию, переходим к пункту 4.

15.Выполняется последняя необходимая проверка с использованием свойства последовательности Штурма.

4.3.3.2Прямой блочный метод Ланцоша

Для решения большой симметричной проблемы собственных значений помимо метода итераций в подпространстве применяют прямой блочный метод Ланцоша, имеющий более быструю сходимость.

Алгоритм блочного метода Ланцоша со сдвигом подробно описан в [194]. Для получения требуемого количества собственных векторов в модальном анализе блочный метод Ланцоша применяется совместно с проверкой последовательности Штурма.

Отметим, что блочная версия алгоритма позволяет сократить медленные операции ввода-вывода по сравнению с классической (неблочной) версией. Введение сдвигов существенно улучшает сходимость.

Альтернативой блочному методу Ланцоша является метод Ланцоша-PCG, требующий меньше вычислительных затрат.

4.3.3.3 Метод Ланцоша-PCG

Теоретические выкладки по реализации метода Ланцоша-PCG можно также найти в работе [194].

Несмотря на то, что данный метод основан на блочном методе Ланцоша, их реализация несколько отличается:

•Значение сдвига в ходе вычислений остается неизменным;

•Для решения уравнения (24) применяется метод PCG;

•По умолчанию не выполняется проверка последовательности Штурма;

•Не применим к задачам на устойчивость.

4.3.4Линейная устойчивость

Расчет на устойчивость в линейной постановке (частичная проблема собственных

значений) формулируется следующим образом:

где:

[K ] – матрица жесткости системы;

[S] – матрица геометрической жесткости (stress stiffness matrix);

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

λi – i-е собственное значение (критическая нагрузка);

{ψ}i – i-й собственный вектор перемещений (форма потери устойчивости).

Методы решения проблемы собственных значений, реализованных в ПК ANSYS Mechanical, перечислены в п. 3.3.3.

В рамках настоящей верификации применительно к задачам на линейную устойчивость рассмотрен прямой блочный метод Ланцоша (см. п. 3.3.3.2).

4.3.5Гармонический анализ (установившиеся вибрации)

При гармоническом анализе линейных систем с установившимися вибрациями решаются уравнения движения во времени:

где:

[M ] – матрица масс системы;

[C] – матрица демпфирования (диссипации) системы; [K ]– матрица жесткости системы;

{u} - вектор узловых ускорений; {u} - вектор узловых скоростей; {u} - вектор узловых перемещений;

{F a }- функция нагрузки, зависящая от времени.

Известно, что все точки системы движутся с одной частотой, но необязательно в одной фазе. Сдвиг по фазе объясняется наличием демпфирования. Поэтому перемещения могут быть представлены следующим образом:

Ω –круговая частота внешней нагрузки (радианы в единицу времени), Ω = 2πf ; f – вынуждающая частота;

t– время;

φ– сдвиг по фазе для перемещений (радианы).

Вкомплексной форме перемещения можно записать следующим образом:

Существует четыре метода решения представленной выше системы уравнений (40):

•Полный метод решения (Full Solution Method);

•Редуцированный метод решения (Reduced Solution Method);

•Метод суперпозиций форм колебаний;

•Вариационный метод решения (Variational Technology).

Врамках данной верификации остановимся на методе суперпозиций форм колебаний.

4.3.5.1Метод суперпозиций форм колебаний

Уравнение движения (32) в частотной (модальной) форме записывается следующим образом (подробнее см. “Documentation for ANSYS, Theory Reference, Chapter 15. Analysis Tools, 15.10 Mode Superposition Method”):

где:

{F nd }– вектор узловых сил;

s – масштабный коэффициент нагрузки;

{F s } – вектор нагрузки из модального анализа (подробнее см. “Documentation for ANSYS,

Theory Reference, Chapter 15. Analysis Tools, 15.10 Mode Superposition Method” []).

Для установившихся гармонических колебаний