ANSYS Mechanical
.pdfvk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
•Элементы “узел-поверхность”
•Элементы “узел-узел”
•Контакт деформируемых тел
•Контакт деформируемого тела с жестким
9 Граничные условия
•Для геометрической и для КЭ-моделей (заданные перемещения и кинематические связи групп узлов)
•Начальные условия
•Ввод нагрузок в форме таблиц или функций
•Тепловые нагрузки
•Преднапряжение
9Модели материалов
•Упругие изотропные, трансверсально-изотропные, ортотропные
•Пластичность металлов (теория течения с различными упрочнениями)
•Гиперупругость (несжимаемые резиноподобные)
•Вязкопластичность металлов
•Ползучесть металлов
•Образование трещин в бетоне и железобетоне
•Нелинейная модель грунта (Друкера-Прагера)
•Пользовательские материалы (нелинейная модель кирпичной кладки, деревянные клееные)
9Конечные элементы
•Объемные КЭ (“солиды”)
•Оболочечные элементы
•Балочные КЭ
•Трубы
•2D и 3D гиперупругие
•2D и 3D оболочки и “солиды” для тепловых задач
•Многоточечные MPC
•2D и 3D контактные
•2D и 3D поверхностного эффекта
•Опция “рождение-смерть”
9Теплопередача
•Стационарные и нестационарные задачи
•Теплопроводность
•Теплообмен конвекцией
9Многодисциплинарные связанные задачи
•Теплообмен + Прочность
9Оптимизация
•Оптимизация параметров
•Параметрическое моделирование
9Дополнительные возможности
•Циклическая симметрия
•Субмоделирование (дополнительный анализ зон конструкции)
•Модальный синтез
•Суперэлементы/подконструкции
9Методы решения
•СЛАУ
•Прямой разреженный метод (Sparse)
•Итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием
(PCG)
•Решение задач на собственные значения
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
12 |
vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
•Блочный метод Ланцоша
•Метод Ланцоша-PCG
•Метод итераций в подпространстве
•Решение нелинейных задач
•Метод Ньютона-Рафсона
•Метод окаймляющих дуг (Arc-length)
•Интегрирование нестационарных уравнений теории поля (теплопроводность и т.п.)
•“Метод трапеций” (Hughes)
•Интегрирование уравнений динамики
•Метод Ньюмарка
•Метод HHT (Hilbert-Hughes-Taylor)
•Спектральный расчет
•Суперэлементные алгоритмы
•Контактные взаимодействия
•Метод штрафных функций
•Метод множителей Лагранжа
•Расширенный метод множителей Лагранжа
•Оптимизация
•Метод аппроксимации подзадачи
•Метод 1-го порядка
4.3Реализация верифицируемых типов решаемых задач (виды расчетов) в ПК
ANSYS Mechanical
Численное моделирование статического, температурного и динамического напряженно-деформированного состояния зданий, сооружений и конструкций без какихлибо существенных ограничений в ПК ANSYS основано на реализации метода конечных элементов (МКЭ) в форме перемещений. Для решения основной системы уравнений формируются глобальные матрицы жесткости [K], демпфирования [C] и матрицы масс [M], а также вектор внешней узловой нагрузки {F}.
4.3.1Линейная статика
Для задач линейной статики решается следующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
[K ] {u}= {F} |
(1) |
или
[K ] {u}= {F a }+{F r }, |
(2) |
где:
[K] – глобальная матрица жесткости
N
[K ]= ∑[Ke ];
m=1
{u} – вектор узловых перемещений; N – количество элементов;
[Ke] – элементная матрица жесткости;
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
13 |
vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
{Fr} – вектор реакций от нагрузки;
{Fa} – вектор глобальной внешней нагрузки,
{F a }= {F nd }+{F ac }+ ∑N ({Feth }+{Fepr })
m=1
где:
{Fnd} – вектор приложенной узловой нагрузки; {Fac} – вектор инерционных сил,
{F ac }= [M ] {ac }
где:
[M] – глобальная матрица масс,
N
[M ]= ∑[Me ]
m=1
[Me] – элементная матрица масс; {ac} – глобальный вектор ускорений;
{Feth} – вектор температурной нагрузки в пределах одного элемента; {Fepr} – вектор давлений в пределах одного элемента.
Решение системы линейных уравнений (1) или (2) в программе осуществляется прямыми (Разреженный Sparse, Фронтальный Frontal) или итерационными (Сопряженных градиентов с предобуславливанием PCG, Сопряженных градиентов Якоби JCG, Сопряженных градиентов с неполным разложением Холецкого ICCG) методами.
В рамках верификации были рассмотрены наиболее эффективные универсальные схемы:
1)прямой разреженный метод (Sparse)
2)итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием (PCG).
4.3.1.1Прямой разреженный метод (Sparse Direct Solver)
Линейные матричные уравнения (1) решаются триангуляцией матрицы жесткости [K] для получения следующего уравнения:
[L] [U ] {u}= {F} |
(3) |
где: |
|
[L] – нижняя матрица треугольного вида |
|
[U] – верхняя матрица треугольного вида |
|
Обозначим |
|
[U ] {u}= {w} |
(4) |
Искомый вектор узловых перемещений {u} определяем, предварительно решив СЛАУ относительно {w}:
[L] {w}= {F} |
(5) |
а затем
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
14 |
ANSYS Mechanical. Верификационный отчет. Том 1 |
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
[U ] {u}= {w} |
(6) |
Когда матрица жесткости [K] симметрична, ее можно записать в виде: |
|
[K ]= [L] [L]T |
(7) |
в свою очередь
[K ]= [L |
] [D][L ] |
(8) |
′ |
′ T |
|
где [D] – диагональная матрица, члены которой могут быть отрицательными для некоторых нелинейных задач, что позволяет сформировать матрицу [L′] без учета квадратного корня из отрицательного числа. Поэтому уравнения (3)-(6) можно представить в виде:
[L ] [D] [L ] |
{u}= {F} |
(9) |
|
′ |
′ T |
|
|
|
′ T |
{u} |
(10) |
{w}= [D] [L ] |
|||
′ |
|
|
(11) |
[L ] {w}= {F} |
|
||
′ T |
{u}= {F} |
(12) |
|
[D] [L ] |
В том случае, когда матрица [K] редкозаполненная с коэффициентами, расположенными, в основном, вокруг главной диагонали, прямой разреженный метод предназначен для обработки только ненулевых элементов матрицы [K]. В целом, в ходе разложения Холецкого матрицы [K], (3) или (9), матрицы [L] или [L'] заполняются ненулевыми коэффициентами, расположенными на нулевых позициях матрицы [K]. Эффективность прямого разреженного метода определяется максимальной оптимизацией вышеописанного процесса.
4.3.1.2Итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием
(Preconditioned Conjugate Gradient)
Итерационный метод сопряженных градиентов с предобуславливанием (PCG) является эффективным и надежным для всех типов расчетов. PCG метод применим только для симметричных матриц жесткости.
Решается основная система линейных уравнений (1). Вектор узловых перемещений ищется в виде:
{u}=α1 {p1 }+α2 {p2 }+...+αm {pm } |
(13) |
где m ≤ n, где n – размер матрицы.
Алгоритм метода сопряженных градиентов реализован следующим образом (14):
{u0 }= {0} {R0 }= {F}
{z0 }= [Q]−1 {F}
Do i = 1, n
If(Norm (R)≤ ε 2 ) then
Set {u}={ui-1} Quit loop
Else
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
15 |
vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
If(i=1)then |
|
β1=0 |
|
{p1}={R0} |
|
α1 = |
{z0 }T {R0 } |
{p1 }T [K ] {p1 } |
{R1 }={R0 }+α1 [K ] {p1 }
Else
Applying preconditioning:{zi-1}=[Q]-1{Ri-1}
β |
|
= |
{zi−1 }T {Ri−1 } |
|
||
i |
{zi−2 }T {Ri−2 } |
|||||
|
|
|||||
{pi }= {zi−1 }+ βi {pi−1 } |
||||||
α |
|
= |
{zi−1 }T {Ri−1 } |
|
||
i |
{pi }T [K ] {pi } |
|||||
|
|
{Ri }= {Ri−1 }+αi [K ] {pi }
Endif
Endif
End loop
Условие сходимости:
{Ri }T {Ri } |
≤ ε 2 |
(15) |
{F}T {F} |
|
|
где:
ε – точность, заданная пользователем;
{Ri }= {F}−[K ] {ui }
{ui} – вектор решений на i-ой итерации. Вектор {u0} может быть нулевым.
4.3.2 Стационарные задачи теплопроводности (фильтрации)
Для стационарных задач теплопроводности (фильтрации) решаем СЛАУ (1) или (2), подставляя вместо глобальной матрицы [K ] матрицу теплопроводности, вместо вектора
перемещений {u} – искомый вектор узловых температур {T}, а вместо вектора приложенной глобальной внешней нагрузки {F a }– {Qa }, где
{Qa }= {Qnd }+ ∑N ({Qe }+{Qeg }+{Qec }), m=1
4.3.3Собственные частоты и формы колебаний
Уравнение движения для задач определения собственных частот и форм колебаний без учета демпфирования имеет вид:
[M ] {u}+[K ] {u}= {0} |
(16) |
Эффекты преднапряженного состояния могут быть учтены в матрице жесткости [K ]
(команда PSTRES,ON).
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
16 |
ANSYS Mechanical. Верификационный отчет. Том 1 |
|
|
|||
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|||
Для линейных систем свободные колебания являются гармоническими: |
|
||||
{u}= {φ}i cosωi t |
|
(17) |
|||
где: |
|
|
|||
{φ}i – собственный вектор, соответствующий i-ой собственной частоте; |
|
||||
ωi – i-я собственная круговая частота (радиан в единицу времени); |
|
||||
t – время. |
|
|
|||
Таким образом, уравнение (16) примет вид: |
|
|
|||
(−ω2 [M ]+[K ]) |
{φ} = {0} |
(18) |
|||
|
i |
i |
|
||
Нетривиальным решением (18) является: |
|
|
|||
|
[K ]−ω2 [M ] |
|
= 0 |
(19) |
|
|
|
Через полученные значения круговых частот собственных колебаний {ω} можно выразить частоты собственных колебаний {f}:
fi |
= |
ωi |
(20) |
|
2π |
||||
|
|
|
Проблема собственных частот и форм колебаний может быть решена одним из методов, реализованных в ПК ANSYS Mechanical:
•Редуцированный метод;
•Метод итераций в подпространстве;
•Прямой блочный метод Ланцоша;
•Метод Ланцоша–PCG;
•Несимметричный метод;
•Метод демпфирования;
•QR-разложение для задач с демпфированием.
Врамках настоящей верификации рассмотрены наиболее эффективные для задач большой размерности:
1) метод итераций в подпространстве;
2) прямой блочный метод Ланцоша;
3) метод Ланцоша-PCG.
4.3.3.1Метод итераций в подпространстве
Основной алгоритм метода итераций в подпространстве выглядит следующим образом:
1.Определение так называемых «сдвигов» s. В случае частотного анализа (ANTYPE,MODAL),) s = FREQB – низшая частота в частотном диапазоне.
2.Инициализация начальных векторов [X 0 ].
Количество начальных векторов (итераций) определяется равенством
q = p + d |
(21) |
где:
p – необходимое количество вычисляемых форм;
d – дополнительное число итерируемых векторов (по умолчанию d = 4)
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
17 |
vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
3. |
Триангуляция “сдвинутой” матрицы |
|
|
[K ]= [K ]+ s [M ] |
(22) |
[K ] – глобальная матрица жесткости системы;
[M ] – глобальная матрица масс (для модального анализа).
В качестве проверки используется свойство последовательности Штурма со сдвигом
s.
4.Для каждой итерации в подпространстве n от 1 до NM выполняются нижеследующие пункты 5-14. NM – максимальное количество итераций в подпространстве.
5.Формируется
[F ]= [M ] [X n−1 ] |
(23) |
[F ]масштабируется по {λn−1}, где {λn−1} – предварительно оцениваемый вектор собственных значений.
6.Прямым фронтальным методом (EQSLV,FRONT) решается система уравнений
(29)относительно [X n ]:
[K ] [ |
|
n ]= [F ] |
(24) |
X |
7.Вектор [X n ] масштабируется {(λn−1 − s) / λn−1}.
8.Для сохраниения численной устойчивости проводится ортогонализация по Граму-Шмидту.
9.Определяются матрицы подпространства [K ] и [M ]:
|
[ |
|
|
|
|
]= [ |
|
|
|
|
n ]T [K ] [ |
|
|
n ] |
(25) |
|||||||||
|
K |
X |
X |
|||||||||||||||||||||
|
|
[ |
|
|
]= [ |
|
|
|
n ]T [M ] [ |
|
n ] |
(26) |
||||||||||||
|
M |
X |
X |
|||||||||||||||||||||
10. |
С учетом сдвига, получается |
|
||||||||||||||||||||||
|
[ |
|
]= [ |
|
|
|
]+ s [ |
|
] |
(27) |
||||||||||||||
|
K |
K |
M |
|||||||||||||||||||||
11. |
Вычисляются собственные значения и векторы |
подпространства с |
||||||||||||||||||||||
применением обобщенного метода Якоби: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
[K ] [Q]= [ |
|
] [Q] {λn } |
(28) |
||||||||||||||||||||
|
M |
|||||||||||||||||||||||
где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Q] – собственные вектора подпространства; |
|
|||||||||||||||||||||||
{λn } – обновленные собственные значения. |
|
|||||||||||||||||||||||
12. |
Обновление приближения к собственным векторам: |
|
||||||||||||||||||||||
|
[X n ]= [ |
|
n ] [Q] |
(29) |
||||||||||||||||||||
|
X |
13.Если найдены отрицательные или лишние формы колебаний, их нужно удалить
исоздать новый случайный вектор.
14.Анализ сходимости полученных приближений:
• Если для всех форм сходимость достигается:
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
18 |
vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
ei |
= |
(λi )n −(λi )n−1 |
< tol |
(30) |
|
B |
|||||
|
|
|
|
где:
(λi )n – i-е собственное значение, вычисленное на n-ой итерации;
(λi )n−1 – i-е собственное значение, вычисленное на (n-1)-ой итерации;
1.0
B = ( ) – выбирается наибольшее значение;
λi n
tol – предел сходимости, равный 10-5, то переходим к пункту 15.
•Если требуется задать новый сдвиг, возвращаемся к пункту 3.
•Для перехода на следующую итерацию, переходим к пункту 4.
15.Выполняется последняя необходимая проверка с использованием свойства последовательности Штурма.
4.3.3.2Прямой блочный метод Ланцоша
Для решения большой симметричной проблемы собственных значений помимо метода итераций в подпространстве применяют прямой блочный метод Ланцоша, имеющий более быструю сходимость.
Алгоритм блочного метода Ланцоша со сдвигом подробно описан в [194]. Для получения требуемого количества собственных векторов в модальном анализе блочный метод Ланцоша применяется совместно с проверкой последовательности Штурма.
Отметим, что блочная версия алгоритма позволяет сократить медленные операции ввода-вывода по сравнению с классической (неблочной) версией. Введение сдвигов существенно улучшает сходимость.
Альтернативой блочному методу Ланцоша является метод Ланцоша-PCG, требующий меньше вычислительных затрат.
4.3.3.3 Метод Ланцоша-PCG
Теоретические выкладки по реализации метода Ланцоша-PCG можно также найти в работе [194].
Несмотря на то, что данный метод основан на блочном методе Ланцоша, их реализация несколько отличается:
•Значение сдвига в ходе вычислений остается неизменным;
•Для решения уравнения (24) применяется метод PCG;
•По умолчанию не выполняется проверка последовательности Штурма;
•Не применим к задачам на устойчивость.
4.3.4Линейная устойчивость
Расчет на устойчивость в линейной постановке (частичная проблема собственных
значений) формулируется следующим образом:
([K ]+ λi [S]) {ψ}i ={0} |
(31) |
где:
[K ] – матрица жесткости системы;
[S] – матрица геометрической жесткости (stress stiffness matrix);
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
19 |
vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1
λi – i-е собственное значение (критическая нагрузка);
{ψ}i – i-й собственный вектор перемещений (форма потери устойчивости).
Методы решения проблемы собственных значений, реализованных в ПК ANSYS Mechanical, перечислены в п. 3.3.3.
В рамках настоящей верификации применительно к задачам на линейную устойчивость рассмотрен прямой блочный метод Ланцоша (см. п. 3.3.3.2).
4.3.5Гармонический анализ (установившиеся вибрации)
При гармоническом анализе линейных систем с установившимися вибрациями решаются уравнения движения во времени:
[M ] {u}+[C] {u}+[K ] {u}= {F a } |
(32) |
где:
[M ] – матрица масс системы;
[C] – матрица демпфирования (диссипации) системы; [K ]– матрица жесткости системы;
{u} - вектор узловых ускорений; {u} - вектор узловых скоростей; {u} - вектор узловых перемещений;
{F a }- функция нагрузки, зависящая от времени.
Известно, что все точки системы движутся с одной частотой, но необязательно в одной фазе. Сдвиг по фазе объясняется наличием демпфирования. Поэтому перемещения могут быть представлены следующим образом:
|
{u}= {umax eiφ } eiΩt |
(33) |
где: |
|
|
umax |
– максимальные перемещения; |
|
i = |
−1 ; |
|
Ω –круговая частота внешней нагрузки (радианы в единицу времени), Ω = 2πf ; f – вынуждающая частота;
t– время;
φ– сдвиг по фазе для перемещений (радианы).
Вкомплексной форме перемещения можно записать следующим образом:
|
{u}={umax (cosφ +isinφ)} eiΩt |
(34) |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
{u}={{u |
}+i{u |
2 |
}} eiΩt |
(35) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где: |
|
|
|
|
|
|
{u1 |
}={umax cosφ} – вектор действительных значений перемещений; |
|
||||
{u2 }={umax sinφ} – вектор мнимых значений перемещений. |
|
|||||
|
Вектор нагрузки может быть представлен по аналогии: |
|
||||
|
{F}={Fmax eiψ }eiΩt |
(36) |
||||
|
{F}={F |
|
(cosψ +isinψ )} eiΩt |
(37) |
||
|
max |
|
|
|
|
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
20 |
ANSYS Mechanical. Верификационный отчет. Том 1 |
|
|
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
{F}={{F |
}+i{F }} eiΩt |
|
(38) |
1 |
2 |
|
|
где: |
|
|
|
Fmax – амплитуда приложенной силы; |
|
|
|
Ψ – сдвиг по фазе для нагрузки (радианы); |
|
|
|
{F1}={Fmax cosψ} – вектор действительных значений нагрузки; |
|
|
|
{F2 }={Fmax sinψ} – вектор мнимых значений нагрузки. |
|
|
|
Подставив выражения (35) и (38) в (32), получим: |
|
|
|
(−Ω2 [M ]+iΩ [C]+[K ]) ({u1}+i{u2 }) eiΩt = ({F1}+i{F2 }) eiΩt |
(39) |
||
Выполнив необходимые преобразования, представим уравнение (39) в виде: |
|
||
(− Ω2 [M ]+iΩ [C]+[K ]) ({u1}+i{u2 })= ({F1}+ i{F2 }) |
(40) |
|
Существует четыре метода решения представленной выше системы уравнений (40):
•Полный метод решения (Full Solution Method);
•Редуцированный метод решения (Reduced Solution Method);
•Метод суперпозиций форм колебаний;
•Вариационный метод решения (Variational Technology).
Врамках данной верификации остановимся на методе суперпозиций форм колебаний.
4.3.5.1Метод суперпозиций форм колебаний
Уравнение движения (32) в частотной (модальной) форме записывается следующим образом (подробнее см. “Documentation for ANSYS, Theory Reference, Chapter 15. Analysis Tools, 15.10 Mode Superposition Method”):
|
y j + 2ωjξj y j +ω2j y j = f j |
(41) |
где: |
|
|
y j |
– модальная (нормальная) координата (modal coordinate); |
|
ωj |
– собственная круговая частота j-й формы колебаний; |
|
ξj |
– коэффициент затухания для j-й формы колебаний; |
|
fi – нагрузка в модальных координатах. |
|
|
|
Вектор нагрузки в модальных координатах: |
|
|
{F}= {F nd }+ s{F s } |
(42) |
где:
{F nd }– вектор узловых сил;
s – масштабный коэффициент нагрузки;
{F s } – вектор нагрузки из модального анализа (подробнее см. “Documentation for ANSYS,
Theory Reference, Chapter 15. Analysis Tools, 15.10 Mode Superposition Method” []).
Для установившихся гармонических колебаний
f j = f jceiΩt |
(43) |
ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru stadyo@stadyo.ru), МГСУ (niccm@mgsu.ru), 2009 |
21 |