ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. 1.10. Эволюции капли «фазовой» жидкости

Хаотические движения детерминированных систем впервые обнару- жил американский метеоролог Э. Н. Лоренц (E. N. Lorenz, 1963 г.), иссле- довавший систему вида

При σ = 10, b = 8/3 и r = 28 эта система имеет странный аттрактор с размерностью D = 2,05 ± 0,01, изображение которого, образованное инте- гральными кривыми в фазовом пространстве, удивительно напоминает крылья бабочки с узором, похожим на разводы, получаемые при переме- шивании красок.

Отметим, что система (1.7) была выведена Лоренцем при упрощен- ном моделировании процессов тепловой конвекции в земной атмосфере. Из наличия у этой системы странного аттрактора следует, что погода и

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

климат в своей основе непредсказуемы, так что долгосрочный прогноз по- годы невозможен. Чувствительность к начальным условиям, ведущую к хаосу в системе (1.7), Э. Лоренц назвал «эффектом бабочки», поскольку потоки воздуха в атмосфере Земли при такой чувствительности могут за- висеть от взмаха крыльев бабочки. Говорят также, что полет мухи в Кем- бридже может привести к изменению погоды в Индии [15].

Еще одним проявлением аналогии между перемешиванием жидко- стей и детерминированным хаосом является следующий удивительный опыт, описанный в книге Дж. Уокера «Физический фейерверк» [22].

Если налить немного глицерина в промежуток между стенками двух коаксиальных цилиндрических стаканов близких диаметров (рис. 1.11), капнуть туда несколько капель краски и повернуть внутренний стакан примерно на 10 оборотов, то краска и глицерин хорошо перемешаются. Однако если после этого вы повернете его на столько же оборотов в обрат- ном направлении, то краска отделится от глицерина и ее распределение будет примерно таким же, как до вращения.

Если же краска и глицерин перемешиваются достаточно долго, то возврат к первоначальному состоянию невозможен.

Рис. 1.11. Перемешивание краски и глицерина

Точно так же движение динамических систем, подверженных дина- мическому хаосу, можно обратить на малых масштабах времени, когда не- устойчивость не успевает себя проявить.

Так, если после нескольких соударений бильярдного шара со стен- ками (см. рис. 1.7) заставить его двигаться с той же скоростью, но в обрат- ном направлении, то весьма вероятно, что шар повторит свою траекторию

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

и вернется в исходную точку. Если же число соударений при прямом дви- жении столь велико, что шар «забывает» о своем первоначальном положе- нии, то обратить движение уже не удастся, как не удастся собрать капли краски после достаточно долгого вращения стакана в описанном выше опыте.

Примеры проявления детерминированного хаоса, рассмотренные

выше, связаны с расхождением траекторий по закону eλ t , где λ – показа- тель Ляпунова. Для таких систем непрерывная зависимость решений от начальных условий нарушается лишь при t → ∞ . В работе [23] хаос такого рода предложено называть «слабым» (weak) хаосом. Там же отмечено, что возможны хаотические движения, связанные с нарушением непрерывной зависимости решений от начальных условий за конечное (и даже сколь угодно малое) время.

Для иллюстрации этого вида неустойчивости рассмотрим уравнение

Эта задача имеет тривиальное решение u ≡ 0. Если же вместо (1.8) рассмотреть слегка отличное (возмущенное) начальное условие

∂u = e− n cos nx ,

∂t

вие стремится к невозмущенному, однако новое решение при сколь угодно малом времени может (за счет члена sh nt ) сколь угодно сильно отличать-

ся от невозмущенного решения u ≡ 0.

Хаос, связанный с неустойчивостью такого типа, называется «силь- ным» (strong) и может проявиться, например, при распространении возму- щений в средах, нелинейные свойства которых приводят к смене гипербо- лического типа уравнений движения на эллиптический [23]. В частности, это возможно в эластичных средах, имеющих падающий участок на зави- симости напряжения от растяжения.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1.2.2. Хаос и размерность систем

Возможность проявления детерминированного хаоса в динамиче- ских автономных системах вида (1.6) существенно зависит от их размерно- сти. Можно показать, что в двумерном пространстве хаотические траекто- рии невозможны, поскольку в нем могут существовать только такие ат- тракторы, как точки равновесия, бесконечность и предельные циклы. До- пустим, например, что диссипативная система имеет (рис. 1.12) два инва- риантных множества – точку равновесия P и предельный цикл C [15]. (На- помним, что инвариантными называются множества точек в фазовом про- странстве, по которым, раз попав на них, все остальное время движется изображающая точка.)

Траектория, начинающаяся внутри кривой С, остается там навсегда, так как в противном случае она пересекла бы эту кривую, что, по теореме единственности, невозможно. Той же теоремой запрещены и самопересе- чения траектории движения. Тогда единственно возможными остаются движение к точке Р (см. рис. 1.12, а) или движение к предельному циклу С

(см. рис. 1.12, б).

C

P

Рис. 1.12. Точка равновесия и предельный цикл

Для трехмерных систем и систем более высокого порядка ограниче- ния, накладываемые теоремой единственности, оказываются более слабы- ми, поскольку траектории имеют возможность избегать друг друга, выходя из плоскости в пространство. Благодаря этой гибкости оказывается воз- можным одновременное осуществление двух условий стохастичности:

а) все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой облас- ти разбегаются;

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

б) все они остаются внутри некоторого ограниченного объема фазо- вого пространства.

В случае неавтономных уравнений хаос возможен и в системах вто- рого порядка. Так, в некоторой области изменения параметров хаотичными могут стать колебания нелинейного осциллятора под воздействием внеш- ней периодической силы, описываемые уравнением Г. Дюффинга (G. Duffing, 1918 г.)

Заметим, что формально неавтономное уравнение второго порядка можно записать в виде системы трех автономных уравнений. Так, (1.9) может быть переписано в виде

dx = y,dt

dy

= −δy − ax − bx3 + F cos z,

dt

dz = ω.

dt

Это в какой-то мере объясняет возникновение хаотических движе- ний в неавтономных системах второго порядка.

То, что периодическое возмущение может привести к случайному поведению, иллюстрирует простая механическая система, представляющая собой шарик в плоском ящике с неровным дном (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Хаотическое движение шарика в ящике с неровным дном

Когда этот прибор покоится, шарик имеет два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия. Если же ящик совершает горизон- тальные периодические движения достаточно большой амплитуды, то ша- рик начинает беспорядочно перепрыгивать из одной ямы в другую. «Разбе- гание» траекторий в этой системе связано с наличием неустойчивой точки равновесия на вершине среднего холмика.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

42 ГЛАВА 1

Если рассматривать уравнения с отклоняющимся аргументом, то хаотические решения могут иметь место и в случае более простых сис-

идаже алгебраических уравнений

x= f (x(t), x(t − τ ))

Введение отклоняющегося аргумента в дифференциальные уравне- ния позволяет уменьшить их размерность и тем самым избежать трудно- стей при идентификации математических моделей, содержащих ненаблю- даемые (т. е. не измеряемые напрямую) физические переменные (см. также раздел 3.1). Следовательно, уравнения с отклоняющимися аргументами яв- ляются образами некоторых систем более высокой размерности, наподо- бие двумерных теней от объемных предметов на стенах пещеры Платона. Поэтому неудивительно, что в случае дифференциально-разностных и раз- ностных уравнений хаос может проявиться и в системах, порядок которых меньше не только трех, но и двух.

Вспомним также о том, что порядок обыкновенного дифференци- ального уравнения совпадает с числом начальных условий, необходимых для однозначного определения его решения. Поскольку постановка на- чальной задачи для уравнения (1.10) требует задания значений x на всем интервале, содержащем бесконечно большое число точек, то порядок уравнения с отклоняющимся аргументом можно считать (по этому крите- рию) бесконечно большим. Это является еще одним объяснением возмож- ности возникновения хаоса в системах с запаздыванием.

В качестве примера уравнения вида (1.10), допускающего хаотиче- ские решения, приведем уравнение Маки–Гласса (M. C. Mackey, L. Glass, 1977 г.)

описывающего процессы регенерации больных кровяных шариков при хронической лейкемии [20].

Примером разностного уравнения, имеющего хаотические решения,

введенное в 1845 г. П. Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяций в закрытой среде ( xn – относительная численность особей популяции в n-й

год). Линейный член в правой части (1.13) описывает рост или рождение,

Отметим, что точки равновесия x определяются из решения урав-

нения x = f (x )≡ x (1 − x ).

Для функции, представленной на рис. 1.14, это уравнение имеет два решения:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

т. е. кроме точки P имеется еще одна точка равновесия – начало коорди- нат O . Построив ломаную траекторию, выходящую из любой близкой к O точки, можно показать, что эта точка равновесия является неустойчивой: малейшее смещение вправо от O приводит к быстрому росту величины этого смещения.

Рассмотрим типы движений, возникающих при различных значениях параметра .

1. 0 < ≤ 1. Система имеет только одно положение равновесия x = 0, и оно устойчиво. Так, если = 0,5 и x0 = 0,8 , то x1 = 0,08 , x2 = 0,0368 , x3 = 0,0177 , ...

2.1 < ≤ 3. При = 1 происходит бифуркация, в результате которой точ- ка равновесия x = 0 теряет устойчивость и появляется новый аттрак-

нии ∞ ≈ 3,56994 не произойдет переход к хаосу (см. рис. 1.15, в). Вели- чина ∞ является точкой сгущения последовательности бифуркационных значений 1, 2 , ... , n , ... , причем, начиная с некоторого n , выполняет- ся асимптотический закон Фейгенбаума [24]

где δ = 4,66920 – число Фейгенбаума.

Закон (1.14) имеет универсальный характер, поскольку он проявля- ется во многих численных и физических экспериментах в системах самой различной природы. Можно утверждать, что переход к хаосу путем после- довательного удвоения периода движения, подчиняющийся закону (1.14), является одним из универсальных сценариев возникновения случайных движений в детерминированных системах. Другие возможные пути пере- хода к хаосу широко обсуждаются в специальной литературе [4, 5, 15, 20, 21].

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1.3. Репликации нелинейной динамики

Согласно Г. Хакену [2, 25] синергетику следует рассматривать как наиболее разработанную теорию самоорганизации, которая может быть применена к широкому кругу разнообразных явлений в сложных системах самой различной природы. В этом качестве синергетика уже стала социо-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

культурным феноменом, оказавшим мощное влияние на все науки, изу- чающие сложные природные объекты. Всем им свойственна эмержент- ность (от англ. emerge – «появляться»), т. е. наличие интегративных свойств, не выводимых из известных свойств элементов и способов их со- единения. Взаимодействие микроскопических элементов приводит к появ- лению на макроскопическом уровне качественно новых свойств и особен- ностей. Цель синергетики состоит в том, чтобы соединить эти два уровня – микро- и макроскопический. Она показала, что в большинстве случаев но- вые структуры создаются не некоей организующей рукой, а самими систе- мами.

Под влиянием внешних потоков энергии и вещества структурные модули, составляющие сложные системы, взаимодействуют друг с другом нелинейным образом, хаотично «пробуя» различные формы коллективного поведения.

По мере возрастания интенсивности внешних потоков система под- ходит к точке выбора (бифуркации), после которой начинает преобладать некоторый выделенный тип кооперативного поведения.

Синергетика предложила также способы «сжатия» огромного коли- чества информации, которую необходимо было бы обработать при описа- нии системы как совокупности ее отдельных частей. Такое «сжатие» воз- можно, поскольку изменения системы в макроскопических масштабах управляются параметрами порядка, число которых невелико (принцип подчинения). В определенном смысле параметры порядка действуют как кукловоды, заставляющие кукол плясать [25].

Известным физическим примером, иллюстрирующим этот принцип, является кювета с жидкостью, подогреваемой снизу. Параметром порядка здесь является разность температур между нижней и верхней поверхно- стями жидкости. Как показывают опыты, когда разность температур пре- вышает некоторое критическое значение, внезапно становится видимым макроскопическое конвективное движение жидкости, порождающее ячеи- стую структуру наподобие пчелиных сот (ячейки Бенара, см. рис. 1.16). Здесь изменением одного параметра удается организовать управление движением огромного количества молекул, подверженных хаотическому тепловому движению.

Примером аналогичной бифуркации в коллективном поведении со- общества людей является появление единого ритма в аплодисментах зри- телей по окончании всем понравившегося концерта: эти аплодисменты пе- реходят в единодушные ритмические хлопки, когда управляющий пара- метр системы (энтузиазм аудитории) превосходит некоторый порог [14].

Следует, однако, отметить, что в последнем примере управляющий параметр не задается извне (как температура подогрева жидкости в кюве- те), а вырабатывается самой системой. В системах живой природы (в отли- чие от физических систем) управляющие параметры в определенном