ПРОЦЕССЫ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Используя подходы теории нечетких множеств, эту задачу можно свести к определению элементов x* B, доставляющих максимум функции принад-

лежности

µ = (µε ( I ε ), µ1( I1), µ 2 (I 2 ), ..., µ n (I n ))n1+1 ,

где ε ( I ε ) – функция принадлежности к нечеткому множеству «ма- лые Iε».

Пример.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида

устойчиво относительно малых возмущений ε. Регуляризация задачи мо- жет быть достигнута за счет привлечения некоторой априорной информа- ции. Пусть, например, известно, что искомые решения не должны быть

слишком велики, т. е. требуется минимизировать норму I1(xε* )= xε* .

Тогда устойчивое решение будет соответствовать максимуму функ- ции принадлежности

большими. Эти величины, а также показатели степени и задаются эксперт- но, исходя из существа рассматриваемых задач.

Отметим, что в рамках традиционного подхода [5] устойчивое реше- ние (2.53) следовало бы искать путем минимизации модифицированного

сглаживающего функционала

Mεα [x]= Ax − bε + α x .

Сравнивая два рассмотренных выше подхода к решению некоррект- но поставленных задач, можно заметить, что при использовании теории нечетких множеств субъективный момент проявляется при выборе вида функций принадлежности µε(Iε) и µi(Ii). Подчеркнем, что нечеткий подход обеспечивает большую гибкость и учет большего числа «нюансов» при формализации априорной информации, поскольку возможности варьиро-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

вания вида функций принадлежности намного богаче, чем возможности варьирования одного параметра α.

2.4.3. Нечеткий подход к выбору сложности идентифицируемой модели

С общей точки зрения, метод структурной минимизации среднего риска является средством формализации нечетко поставленной задачи «увеличить точность аппроксимации эмпирических данных, используя как можно более простые модели». При этом требуется минимизировать два критерия – функционал эмпирического риска I0(а) и критерий «относи-

ны Ω неизбежно, как следует из раздела 2.3.1, привлечение субъективных соображений. И вновь, как и при построении регуляризующих алгоритмов, двухкритериальная задача сводится к однокритериальной путем введения обобщенного критерия

Легко видеть, что более естественным способом формализации зада- чи выбора оптимальной сложности модели является привлечение аппарата теории нечетких множеств. Используя рассмотренные выше подходы, можно потребовать максимума критерия

где µ0(I0) и µc(n) – функции принадлежности нечетких множеств «малые значения эмпирического риска» и «малая сложность модели». Эти функ- ции могут быть, например, определены как

где I1 – значение функционала эмпирического риска, соответствующее некоторому начальному числу параметров n (например, n = 2), m1 и m2 – показатели степени, определяющие отношение алгоритма к уменьшению эмпирического риска и увеличению сложности модели. (Так, если m2 < 1, то уже при малых n модель считается сложной, а при m2 > 1 число пара- метров может быть увеличено.)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Пример 1.

Рассмотрим математический эксперимент, заключающийся в восста- новлении функциональной зависимости y = F(x) по выборке {xi ; yi }, «при-

готовленной» путем вычисления yi по формуле

yi = b1 + b2 xi + b3xi2 + ε 0ξi ,

где ξi – случайная величина, равномерно распределенная в интерва- ле [–1, 1] (вычисляется с помощью стандартных генераторов случайных чисел), ε0 – уровень погрешности, i = 1, 2, ..., l. При проведении расчетов

принимались следующие значения параметров: b1 = b2 = b3 = ε 0 = 0,01, а

значения xi задавались случайным образом в интервале [0,1].

Функциональная связь между y и x восстанавливалась в классе поли-

В табл. 2.6 приведены значения I0, функционала среднего риска Im (по выражениям (2.45) и (2.47)) и нечеткого критерия µ (по (2.56) и (2.57)), соответствующие полиномам различной сложности.

Результаты математического эксперимента показывают, что при дос- таточно большом числе экспериментальных точек оба метода выбора мо- дели оптимальной сложности дают правильный результат (n = 3), но при малых выборках метод СМСР становится излишне грубым и выбирает бо- лее простую модель, чем следует.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Пример 2.

В последнем столбце табл. 2.4 представлены значения нечеткого критерия , построенного с целью отбора реологической модели опти- мальной сложности по данным вискозиметрических исследований, приве- денных в разделе 2.3.1. Как видим, оптимальной вновь признается степен- ная модель Оствальда, что соответствует результату, полученному ранее с помощью метода структурной минимизации среднего риска.

2.5. Оценка начальных запасов газовых месторождений

Почему бы Вам не разбавить Ваши мысли поучительными примерами?

Д. К. Максвелл (проповеднику)

Для эффективной разработки газовых месторождений необходимо уже на ранней стадии разработки достоверно оценить начальные балансо- вые и извлекаемые запасы месторождения.

Как известно, одним из распространенных методов подсчета запасов газа, наряду с объемным, является метод, основанный на использовании уравнения материального баланса и сводящийся к экстраполяции зависи-

мости приведенного давления p = p / z от накопленной добычи газа Q .

Эта зависимость в условиях проявления чисто газового режима имеет пря- молинейный характер. Графической интерпретацией метода в этом случае

является линейная экстраполяция p / z -зависимости до уровня p = 0 . При этом отрезок, отсекаемый на оси Q , служит для оценки начальных запасов газа.

Однако прямолинейная зависимость p от Q может быть нарушена за счет проявления водонапорного режима, влияния горного давления и других осложняющих факторов. Отметим, что очень часто причины, ве- дущие к отклонению p / z -зависимости от прямой, действуют с некоторым запаздыванием [22, 23].

В связи с вышеизложенным в данном разделе рассматриваются сле- дующие две практически важные задачи:

-ранняя оценка запасов газа по начальным данным разработки месторо- ждения (когда, в частности, не успевают проявить себя причины, нару- шающие прямолинейность p / z -зависимости);

-оценка запасов газа в условиях проявления (с запаздыванием) деформи- руемости горных пород.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2.5.1. Оценка запасов газа по начальному участку p / z -зависимости

Математически задача экстраполяции p / z -зависимости сводится к

ботки месторождения (начальные запасы оцениваются как − ba ). При этом

решается система алгебраических уравнений

A x = U ,

где

В связи с невозможностью точного определения средневзвешенного пластового давления (особенно в начальный период) значения коэффици- ентов a и b , а следовательно и запасов, найденных из решения этой сис- темы, определяются с погрешностью ∆х , уровень которой зависит от

уровня погрешности определения правой части ∆U и обусловленности матрицы A [5]:

∆x ≤ µ ∆U ,

где µ – обусловленность матрицы A.

Нетрудно показать, что стремление использовать как можно более

p

короткие начальные участки z -зависимости приводит к увеличению обу-

словленности µ , поэтому даже малые ошибки в определении p и Q мо- гут привести к большим ошибкам в определении начальных запасов газа.

Для получения устойчивого решения можно воспользоваться регуля-

стабилизирующий функционал. При этом для определения априорно зада- ваемой величины Q0 можно использовать величину запасов газа, опреде-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ленную объемным методом, которая (хотя бы только в первом приближе- нии) оценивается уже на этапе разведочного бурения и тем более известна на этапе опытно-промышленной эксплуатации.

Для апробации вышеизложенного подхода нами были проведены расчеты по данным о динамике приведенного средневзвешенного пласто- вого давления и суммарного добытого количества газа Коробковского ме- сторождения [23] (табл. 2.7).

В табл. 2.8 приведены результаты модельных расчетов по исследо- ванию устойчивости оценок начальных запасов газа относительно малых погрешностей в данных. В ходе этих расчетов на реальные значения при- веденного давления накладывался случайный «шум» заданного уровня. В столбцах 2, 4, 6 табл. 2.8 приведены пределы изменения оценок началь- ных запасов, полученных обычным методом наименьших квадратов при различных реализациях «шумов». В столбцах 3, 5, 7 приведены аналогич-

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ные оценки, полученные по алгоритму РМНК, причем в качестве априор- ной величины Q0 (столбец 8) были выбраны несколько значений запасов газа, покрывающих интервал изменения начальных запасов, подсчитывав- шихся неоднократно к тому времени объемным методом [23].

Таблица 2.8 Предельные значения начальных запасов при неточной исходной информации

Как видим, ошибки в определении запасов по алгоритму РММК зна- чительно меньше, причем на априорную информацию – значения началь- ных запасов газа, определяемые объемным методом – не нужно наклады- вать жестких ограничений по точности.

В табл. 2.9 приведены результаты исследования чувствительности оценок начальных запасов газа относительно изменения параметра регуля-

ризации α при фиксированном значении априорных запасов Q0 = 70 млрд. м (утвержденных ГКЗ в 1960 г.).

Как видно, найденные оценки начальных запасов сравнительно устойчивы. Надо отметить, что получение более подробной информации в период с 1965 по 1968 годы позволило ВНИИНГП оценить запасы в 42,2 и

47,1 млрд. м3 (по объемному методу и методу падения давления соответст- венно), а по отдельным данным – в 37,7 млрд. м3 [23]. Таким образом,

оценки, полученные по информации о начальной стадии разработки, с дос- таточной для практики точностью совпадают с приведенными выше.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Таблица 2.9

Начальные запасы газа по массивной залежи Коробковского месторождения с использованием РМНК

2.5.2. Оценка запасов газа в деформируемых пластах

При разработке газовых месторождений с высоким пластовым давлением существенную роль играют процессы деформации пласта. Изменения парового объема Ω происходят под влиянием эффективного

напряжения σ :

Ω = Ω(σ ),

где

σ = рг − р ,

где pг и p – значения горного и пластового давлений соответственно. Как показывает анализ лабораторных и промысловых исследований,

процессы деформации горных пород носят неравновесный характер. По- этому при деформации необходимо учесть время λ , необходимое для ус- тановления равновесных значений Ω при изменениях эффективного на- пряжения σ , а также некоторое время задержки (лаг) θ , с которым значе- ния σ следуют за изменением пластового давления p (величина θ имеет смысл характерного времени перераспределения горного давления).

Тогда линейное уравнение, описывающее кинетику деформацион-

где α – коэффициент газонасыщенности, α 0 , Ω 0 и р0 – начальные зна- чения соответствующих величин, β – деформационный коэффициент.

Если время задержки θ мало, то деформация пласта проявляется уже на ранней стадии разработки месторождения. Если же время задержки дос- таточно велико, то начальный участок p / z -зависимости прямолинейный (по нему можно получить предварительную оценку начальных запасов по методу, рассмотренному выше) и только на временах порядка θ отклоня- ется от прямой.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

коэффициенты a1, a2 , a3 , a4 , θ .

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Предположим, что значение θ задано. Значения остальных коэффи- циентов будем оценивать по алгоритму, использующему теорию чувстви- тельности (см. раздел 2.1.1)

Система (2.62) на каждой итерации решается численно методом Рун- ге–Кутта. Интегралы (u, υ ) также берутся численно.

Такого рода расчеты проводятся при различных значениях θ . Вы- числения прекращаются, когда будет достигнуто удовлетворительное со- гласие расчетных кривых с экспериментальными данными. При этом на- чальные запасы газа оцениваются как Q∞ = a1Ql .

Пример. Анализ p / z -зависимости месторождения Зеварды

В табл. 2.10 приведена зависимость приведенного пластового давле- ния месторождения Зеварды от суммарного отбора газа в период с 1979 по 1988 гг. с интервалом ∆t = 0,5 газа.

Согласно этим данным, начальные запасы газа, полученные линей- ной экстраполяцией p / z -зависимости, увеличиваются по мере извлечения газа. Появление «кажущихся» запасов связано с уменьшением темпа паде- ния давления, что, в свою очередь, может быть объяснено процессами де- формации коллектора под действием горного давления (многочисленные исследования показали, что внедрение законтурной воды в пласт и «под- питка» газом извне – другие возможные причины замедления темпа паде- ния давления – на месторождении Зеварды не наблюдаются).