2. Вершины

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат:

1) C осью OX:

2) C осью OY:

Определение 2. Точки пересечения эллипса с осями координат (осями эллипса с уравнением (1)) называются его вершинами. Числа и , называются соответственно большой и малой полуосями.

3. Расположение относительно осей

Исследуем эллипс в первом квадранте (четверти), то есть при и .

умножим на .

,

,

.

Если возрастает от 0 до a, то убывает от b до 0. Если , то и принимает мнимые значения. Дуги эллипса в остальных трех квадрантах симметричны дуге относительно осей координат и начала координат.

Замечание. Так как , то и директрисы не пересекают эллипс.

4. Другие уравнения эллипса

1) Пусть эллипс задан уравнением где …(2)

Тогда фокусы и лежат на оси OY (она является фокальной осью), ,

, , , – уравнение директрис

2) Пусть центр эллипса находится в точке . Осуществим параллельный перенос системы координат Oxy по формулам:

Отсюда получаем: а уравнение эллипса запишется в следующем виде:

или (3).

При этом оси O’x’ и O’y’ получаются при параллельном переносе на вектор осей Ox и Oy.

В частности, при a = b = r эллипс превращается в окружность с центром радиуса r и задается уравнением:

(4).

§16. Гипербола («Избыток» - греческий)

Определение 1. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния F₁F₂. Точки F₁ и F₂ называются фокусами, расстояние

F₁, F₂ – фокусным расстоянием.

Пусть М(x; y) – произвольная точка гиперболы, и прямоугольная декартова система координат выбрана так, что фокусы F₁ и F₂ лежат на оси Ох, а начало координат делит пополам расстояние между фокусами.

Обозначим F₁F₂ = 2с, тогда имеем F₁(c; 0) и F₂(-c; 0).

Обозначим также HF₁ = , HF₂ = – фокальные радиусы точки H.

Из определения гиперболы следует, что модуль разности фокусных радиусов любой её точки есть величина постоянная. Обозначим её 2а:

; = 2а.

Замечание. Мы предположим, что 2а < 2c или a < c, так как в противном случае либо не существует точек, удовлетворяющих определению (a > c), либо совокупность этих точек есть объединение двух лучей прямой, проходящей через точки F₁ и F₂ (a = c).

Теорема 1. Если прямоугольная декартова система координат выбрана указанным выше способом, то в ней гипербола задается своим каноническим (простейшим) уравнением:

, (1)

где с² = a²+b². (2)

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для эллипса, с² - a² = b², так как с > a.

Определение 2. Эксцентриситет гиперболы с уравнением (1) при условии (2) называется число .

Замечание. Так как из (2) , то _, > 1.

Определение 3. Директрисами гиперболы с уравнением (1) при условии (2) называются прямые с уравнениями:

x = d, где d = . (3)

Так как > 1, то d = < a и директрисы не пересекают гиперболу.

Теорема 2. Отношение расстояния произвольной точки гиперболы до фокуса к её расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситета гиперболы.

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для эллипса.

x = -d, x = d;

>1 => r₁ > d₁ ;

;

d₁ = x-d = x- .