§21. Общее уравнение линии второго порядка

По определению алгебраическая линия второго порядка имеет в прямоугольных декартовых координатах уравнение второй степени:

, (*)

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, , i,j=0,1,2.

При этом считают, что , , .

Уравнение (*) называется общим уравнением линии второго порядка. Ниже будет доказано, что из него получается канонические (простейшие) виды общего уравнения.

Уравнения эллипса:

. (1)

Уравнения мнимого эллипса:

. (2)

.

Уравнение (2) не имеет действительных решений и , и следовательно является уравнением пустого множества точек. При этом название “мнимый эллипс” условное и объясняется лишь сходством уравнений (2) и (1).

Уравнения гиперболы:

. (3) и (3 )

Уравнения пары пересекающихся прямых:

. (4)

. (4 )

Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых:

. (5)

Уравнение (5) имеет единственное решение x=y=0, и следовательно является уравнением одной точки – начала координат. Название “пара пересекающихся мнимых прямых” условное и объясняется сходством уравнений (4) и (5).

Уравнения параболы:

, (6)

; (6 )

- в уравнении (6).

Уравнения пары параллельных прямых:

(7)

(7 )

.

Уравнение пары совпавших с осью Oy прямых:

. (8)

- уравнение оси Oy.

Уравнение пары совпавших с осью Ox прямых:

. (8 )

- уравнение оси Ox.

Уравнения пары мнимых параллельных прямых:

(9)

и

. (9 )

Как и уравнения (2), уравнения (9) и (9 ) являются уравнениями пустого множества точек. Название “пара мнимых параллельных прямых” объясняется сходством уравнений (9) и (9’) с уравнениями (7) и (7 ).

Определение 1. Линии второго порядка с уравнениями видов (1), (2) и (5) называются линиями эллиптического типа, видов (3) и (4) – линиями гиперболического типа, видов (6), (7), (8) и (9) - линиями параболического типа.

Определение 2. Центр симметрии линии 2-го порядка называется ее центром. Если линия 2-го порядка имеет единственный центр, то она называется центральной; если она не имеет центра, то нецентральной; если множество ее центров есть прямая линия, то – линией с прямой центров.

Пример. Пара параллельных прямых является линией 2-го порядка с прямой центров.

Имеет место следующая классификация линий 2-го порядка

Линии 2-го порядка	Эллипс Мнимый эллипс Пара мнимых пересекающихся прямых	Линии 2-го порядка
Эллиптического типа		Центральные
Гиперболического типа	Гипербола Пара пересекающихся прямых	Центральные
Параболического типа	Парабола	Нецентральная
	Пара параллельных прямых Пара совпавших прямых Пара мнимых параллельных прямых	С прямой центров