I. Метод координат на плоскости

§ 1. Аффинная система координат

Определение 1. Аффинной системой координат или аффинным репером называется совокупность некоторой точки О и некоторого базиса ( , ). (аффинное = родственное, репер = метка).

Точка О называется началом координат, и - координатными векторами.

Если базис ( , ) – правый, то аффинная система координат называется правой, если базис левый, то – левой.

Определение 2. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком. Две оси, проходящие через начало координат и имеющие направления векторов и , называются соответственно осью абсцисс и осью ординат или координатными осями.

Четыре части, на которые они делят плоскость, называются координатными углами или квадрантами.

Обозначения: ось абсцисс – , ;

ось ординат – , ;

система координат - , .

Правая система координат

Левая система координат

Определение 3. Радиус-вектором точки М плоскости называется вектор . Его координаты x и y в базисе ( , ) называются координатами точки М в аффинной системе координат, при этом х называется абсциссой, у – ординатой.

Обозначение: , , .

По определению: .

Определение 4. Плоскость называется ориентированной, если на ней выбрана какого-либо вида аффинная система координат – правая или левая и, следовательно, определено направление отсчета углов (против или по часовой стрелке). Система координат выбранного вида называется положительно ориентированной, а выбранное направление отсчета углов – положительным.

Замечание. Будем считать плоскость положительно ориентированной, на ней выбрана правая система координат и, следовательно, положительным направлением отсчета углов – против часовой стрелки.

§ 2. Деление отрезка в данном отношении

Определение. Пусть на прямой лежат направленный отрезок и произвольная точка М. Отношением, в котором эта точка делит данный отрезок, называется такое число λ, что:

(1)

Обозначение: λ=(AB,M)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:

1) λ>0 , точка М лежит внутри отрезка АВ, .

λ=1 , М – середина отрезка АВ.

2) λ=0 , - точка М совпадает с началом А отрезка АВ.

3) λ<0 , точка М лежит вне отрезка АВ, .

Замечание: λ -1 , т. к. в этом случае или и и , то есть .

Теорема. Если точка M(x;y) делит в отношении λ -1 направленный отрезок с началом А(х₁;у₁) и концом В(х₂;у₂), то

, . (2)

Доказательство. - согласно определению. Перейдем к координатам: , .

Из условия равенства векторов и имеем:

Теорема доказана.

Следствие. Если М – середина направленного отрезка , то λ=1 и

(3)

§ 3. Переход к новой аффинной системе координат

Рассмотрим две аффинные системы координат. Одну из них обозначим и назовем старой, другую обозначим и назовем ее новой.

Теорема. Пусть 1) начало координат и координатные векторы новой системы имеют в старой системе координаты: , , ; 2) произвольная точка М имеет в старой системе координаты x, y, а в новой системе координаты . Тогда имеют место формулы:

, где . (*)

Доказательство.

СТАРАЯ СИСТЕМА НОВАЯ СИСТЕМА

КООРДИНАТ КООРДИНАТ

По определению координат точек и векторов имеем для старой системы координат :

; (1)

(2)

. (3)

Для новой системы координат аналогично имеем:

. (4)

Подставим выражения и из (2) в (4):

. (5)

По правилу треугольника имеем:

. (6)

Подставим в это равенство выражения (3), (1) и (5):

+ + + + + .

Приведем подобные члены:

+ = + .

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то формулы (*) справедливы:

(*)

Теорема доказана.

Замечания.

1) в правой части равенств (*) коэффициентами при служат координаты и вектора в старой системе координат, коэффициентами при - координаты и вектора в старой системе координат, свободными членами – координаты нового начала в старой системе координат;

2) по определению базиса векторы и неколлинеарны, а по теореме из §3: определитель из их координат отличен от нуля:

.

Можно доказать, что если старая и новая системы координат одного типа (например, обе правые), то , если же разных типов, то .