§40. Конические поверхности

Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М₀ называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М₀ и через некоторую точку линии γ. Точка М₀ называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.

Теорема. Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением

. (1)

является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс

γ: (2)

Доказательство.

Пусть M₁ (x₁; y₁; z₁) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат; ?=ОM₁ – прямая, M (x; y; z) принадлежит ?. Так как | | , то , такое что

(3)

Так как , то ее координаты x₁; y₁; z₁ удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем , где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t² ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x; y; z) прямой m=ОM₁ удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).

Таким образом, любая точка M (x; y; z) прямой m=ОM₁ лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM₁ =m – прямолинейная образующая поверхности α.

Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:

или

Это сечение является эллипсом с полуосями а и b. Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О(0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат); образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.

Теорема доказана.

Определение 2. Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.

Свойства конуса 2-го порядка.

1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).

2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно

3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых; плоскостью Oxy – точка О(0,0,0).

4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.

5º Если а = b, то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.

Определение 3: коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.

Р₁ Р₂

Эллипс. Парабола (α║р) Гипербола (α║р₁, α║р₂)