III. Линии второго порядка
§13. Эллипс («Недостаток»)
Определение.
Эллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух
данных точек есть величина постоянная.
Эти точки 
и 
называются фокусами эллипса, а расстояние
между ними называется фокальным
расстоянием.
Название «эллипс» ввел Аполлоний Пергский (ок. 262 – ок. 190 до н. э.), рассматривавший его как одно из конических сечений.
Замечания.
1)
Половину указанной суммы обозначают
через а, тогда сама сумма равна 2а. Если
М – произвольная точка эллипса, то числа
,
– называются фокальными радиусами и
по определению эллипса получаем:
.
2)
Половину фокального расстояния обозначают
через c,
тогда 
Из треугольника ∆
имеем: 
или 
или 
Теорема. Если фокусы эллипса лежат на оси ОХ прямоугольной декартовой системы координат Oxy и симметричны относительно начала координат, то в этой системе эллипс имеет уравнение:
(1)
где
(2)
Уравнение (1) называется каноническим или простейшим уравнением эллипса.
Доказательство.
Пусть
M(x;
y)
– произвольная точка эллипса, 
и 
– его фокусы. Тогда по определению
эллипса имеем: 
Перейдем в этом равенстве к координатам:
,
(3)
.
(4)
Так
как 
,
то 
и можно положить 
,
отсюда
.
Уравнение
(4) примет вид: 
.
Делим обе его части на 
Итак,
доказано, что координаты произвольной
точки 
эллипса удовлетворяют уравнению (1).
Аналогично можно доказать, что координаты
любой точки 
,
не лежащей на эллипсе, уравнению (1) не
удовлетворяют.
Теорема доказана.
Определение
2. Число
называется эксцентриситетом эллипса
с уравнением (1) при условии (2).
Замечание.
3)
Так как 
то 
.
Если с = 0, то ε= 0 и из (2) получаем a = b. Уравнение (1) принимает вид:
или
-
уравнение
окружности с центром в начале координат
О (0; 0) радиуса 
.
Таким образом, ε
характеризует отличие эллипса от
окружности, его «вытянутость»;
4)
Так 
, то уравнение (3) принимает вид: 
или 
или 
.
Термин «эксцентриситет» ввел Иоганн Кеплер (1715 - 1630).
§14. Директрисы эллипса
Определение.
Директрисами
эллипса с уравнением (1)
при
условии (2) называются прямые, определяемые
уравнениями: 
,
где 
. Так как 
то 
.
Замечание. У окружности ε = 0 и директрис нет.
Теорема. Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к ее расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равна эксцентриситету эллипса.
Доказательство.
Пусть
M
(x,
y)
– произвольная точка эллипса, 
-
расстояние от нее до ближайшей к фокусу
директрисы: 
.
По
замечанию 4 имеем: 
,
тогда: 
или 
.
Аналогично рассуждая получим, что 
.
Теорема доказана.
§15. Исследование уравнения эллипса
Пусть эллипс задан каноническим уравнением
,
(1)
где
,
то есть 
.
1. Оси и центры
Пусть
М (х; у) – произвольная точка эллипса.
Уравнение (1) содержит переменную 
во
2-ой степени, следовательно, при замене
на 
уравнение (1) не изменится. Значит, точка
М (-х; у) также лежит на эллипсе. Но эти
точки симметричны относительно оси OY,
тогда и весь эллипс симметричен
относительно оси ординат.
Аналогично, уравнение (1) не изменится при замене y на –y, следовательно, эллипс симметричен относительно оси абсцисс.
Уравнение (1) не изменится также при одновременной замене x на –x и y на –y, следовательно, эллипс с уравнением (1) симметричен относительно начала координат.
Определение 1. Центр симметрии эллипса называется его центром, оси симметрии эллипса называются его осями; ось эллипса, на которой лежит его фокус, называется фокальной осью.