- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть две прямые 1 и 2 заданы своими каноническими уравнениями:
1: , 2: . (1)
Здесь , , и - направляющие векторы этих прямых.
Возможны случаи их взаимного расположения.
10. Прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, то есть, если их смешанное произведение равно нулю:
Последнее равенство равносильно следующему:
. (2)
(2) - условие расположения двух прямых в одной плоскости.
Случай 1. Прямые параллельны.
Векторы и коллинеарны, следовательно:
. (3)
(3) – условия параллельности двух прямых.
Замечание 1. Из условий (3) следует условие (2), так как при выполнении условий (3) строки определителя в равенстве (2) пропорциональны, и такой определитель равен нулю.
В случае 10 имеются две возможности:
а) прямые l1 и l2 совпадают:
l1 l2
Вектор компланарен векторам и , тогда, например
. (4)
б) прямые l1 и l2 не имеют общих точек:
Вектор компланарен векторам и , равенства (4) не выполняются.
Случай 2. Прямые l1 и l2 пересекаются.
В этом случае условие (2) выполняется, условия (3) – нет.
20. Прямые l1 и l2 могут и не лежать в одной плоскости, тогда условие (2) не выполняется, прямые являются скрещивающимися.
Обозначение. l1 • l2.
Замечание 2. В случае 20 и когда прямые скрещиваются, они могут быть перпендикулярными.
Тогда , и в координатах:
. (5)
Определение 3. Углом между пересекающимися прямыми называется величина меньшего из двух углов, или определяемых. Угол между параллельными или совпадающими прямыми считается равным нулю. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между соответственно им параллельными пересекающимися прямыми.
Теорема. Угол Ө между прямыми с уравнениями (1) выражается формулой:
cos Ө = ; (6)
Доказательство.
Обозначим Ө = , где , , , .
Случай 1. , тогда: Ө = и cos Ө = cos .
Случай 2. , тогда Ө = π – φ и cos Ө = - cos .
В обоих случаях, переходя к координатам, имеем:
Теорема доказана.
Замечание. Условие (5) получается из формулы (6) при .
Пример. Найти уравнения прямой l1, которая:
1) Проходит через точку М1(3;2;1) ;
2) Пересекает прямую l2 с уравнениями x=2y=3-z;
3) Перпендикулярна этой прямой l2 .
Решение.
1) Так как М1 , то ее каноническое уравнение имеет вид:
2) Так как l1 пересекает l2 , то они лежат в одной плоскости, и, следовательно, выполняется условие (2): , где x1=3, y1=2, z1=1, .
Канонические уравнения прямой l2 имеют вид: , следовательно, x2=0, y2=0, z2=3, m2=2, n2=1, p2=-2.
-2
+2
n1-
p1=0
3) Так как , то и : 2 + n1- p1=0
4) Положив p1=2, получим: m1=1, n1=2.
Ответ: .
§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:
, ax+by+cz+d=0. (1)
где M0(x0; y0; z0) l, (m; n; p) || l, (a, b, c) .
Могут представляться случаи из взаимного расположения.
Случай 1. Прямая и плоскость параллельны: . Тогда , , следовательно:
. (2)
(2) – условие параллельности прямой и плоскости.
В случае 1 имеются две возможности:
а) Прямая лежит в плоскости: . Следовательно, кроме условия (2) выполняется еще и условие:
. (3)
б) Прямая и плоскость не имеют общих точек: , тогда , условие (2) выполняется, условие (3) – нет:
Случай 2. Прямая и плоскость пересекаются: , тогда и условие (2) не выполняется: a*m+b*n*c*p 0.
В частности, если , то векторы и коллинеарны:
. (5)
(5) – условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Определение. Углом Ө между прямой и не перпендикулярной ей плоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией 1 на эту плоскость.
Угол между прямой и перпендикулярной ей плоскостью считается равным (проекцией прямой на плоскость является точка).
Теорема. Угол Ө между прямой и плоскостью с уравнениями (1) вычисляется по формуле:
. (6)
Доказательство.
Обозначим: Ө= , где .
Случай 1. ; ; Ө.
Случай 2. ; ; .
В обоих случаях имеем:
.
Теорема доказана.
Пример. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую 1: , и параллельной прямой 2: .
Перейдем от канонических уравнений прямой 1 к ее общим уравнениям:
1=
Запишем уравнения пучка плоскостей с осью 1:
Находим уравнение плоскости α как плоскости пучка с осью 1, параллельной прямой l2:
Ответ: .