§9. Другие способы задания прямой
10. Параметрические уравнения прямой
Пусть
прямая l
задана направляющим вектором
(s1;s2)
и точкой M0(x0;y0).
Точка M(x;y)
принадлежит данной прямой тогда и только
тогда, когда:
||
,
то есть, когда существует число t
такое, что
или в координатах:
(1)
Определение 1. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями прямой, а t – параметром.
Замечание.
При
изменении параметра t
от
до
(
)
будут получаться различные точки данной
прямой.
20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
Пусть
прямая не проходит через начало координат
и пересекает обе оси координат: ось Ox
в точке A(a;0),
ось Oy
в точке B(0;b).
Тогда
по теореме 2 из §7 имеем:
или
,
или
,
так как a ≠ 0,
b ≠ 0
=> 
.
(2)
Определение 2. Абсцисса a и ордината b точек пересечения прямой с осями координат Ox и Oy называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат.
Уравнение (2) называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.
30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Рассмотрим не параллельную оси Oy прямую с уравнением:
где
b
≠ 0.
Преобразуем это уравнение:
Обозначим:
тогда получим:
.
(3)
Определение 3. Уравнение (3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число k называется угловым коэффициентом, число b0 – “начальной ординатой” данной прямой.
Теорема. 1) Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла φ между положительным направлением оси Ox и этой прямой; 2) “Начальная ордината” прямой есть ордината точки пересечения этой прямой с осью Oy.
Доказательство.
1) Пусть M1(x1;y1) и M2(x2;y2) – две точки данной прямой с уравнением (3), тогда:
где
Рассмотрим ∆M1M2N. Так как M1N || Ox, то имеем:
Итак,
.
2) Найдем ординату точки пересечения данной прямой с осью Oy:
.
Следствие. Прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через данную точку M0(x0;y0), задается уравнением:
.
(4)
Доказательство.
Точка M0 лежит на данной прямой, тогда имеем:
(5)
Вычитая почленно из уравнения (3) уравнение (5), получим уравнение (4).
Замечание.
Если
прямая параллельна оси Oy,
то
и
В этом случае прямая задается уравнением
,
так как уравнения (3) и (4) теряют смысл.
§10. Взаимное расположение точки и прямой
Теорема 1. Расстояние α от точки M0(x0;y0) до прямой p с уравнением
(*)
выражается формулой:
(1)
Доказательство.
Пусть
(a;b)
– нормальный вектор прямой p,
M1(x1;y1)
– основание перпендикуляра, опущенного
из точки M0
на прямую p.
Тогда
Возможны
два случая взаимного расположения
и вектора
:
Вычислим
скалярное произведение
двумя способами.
1
способ.
,
где
.
,
;
Могут представиться случаи:
.
Тогда
получаем:
(2)
2
способ.
,
.
,
так как
и
.
Итак,
.
(3)
Из
(2) и (3) имеем:
.
(4)
Из (4) получаем:
или
.
(1)
Теорема
2.
Координаты точек одной из полуплоскостей,
на которые прямая с уравнением разбивает
плоскость, удовлетворяют неравенству:
,
а координаты другой полуплоскости –
неравенству:
.
Доказательство.
Пусть
точки
находится в той полуплоскости, в сторону
которой направлен нормальный вектор
(рис. 1). Тогда
,
и из равенства (3) имеем:
.
Если
же точка
лежит в другой полуплоскости, то
,
и из равенства (3) имеем:
.
Теорема доказана.
Следствие.
Если точки
и
лежат по одну сторону от прямой с
уравнением
,
то при подстановке их координаты в
трехчлен
получаются
значения одного знака, а если по разные
стороны – значения разных знаков.
Пример
1.
Исследовать взаимное расположение
точки
и прямой
.
Имеем по формуле (1):
;
M0
;
.
Таким
образом, точка
находится на расстоянии
от данной прямой и лежит по разные
стороны от неё с началом координат.
Пример
2.
Задать аналитически треугольник, стороны
которого лежат на прямых с уравнениями:
,
,
.
-
уравнение прямой в отрезках на осях
координат.
,
,
.
1)
;
2)
;
3)
.
-
система неравенств, задающая внутреннюю
область ∆АВС.
-
система неравенств, задающая весь ∆АВС
(объединение его сторон и внутренней
области).