§37. Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид задается своим каноническим уравнением:
(1)
.
Так как уравнение (1) содержит x
и y
во второй степени, то эллиптический
параболоид с уравнением (1) симметричен
относительно Oxz
и Oyz,
а также относительно оси Oz.
Относительно плоскости Oxy,
осей Ox
и Oy
и начала координат эллиптический
параболоид не симметричен.
Таким образом, эллиптический параболоид имеет только одну ось симметрии, две плоскости симметрии и не имеет центра симметрии (центра).
.
Эллиптический параболоид с уравнением
(1) имеет единственную вершину – начало
координат.
.
Сечение плоскостью Oyz:
- парабола с вершиной O(0;0;0)
и осью Oz.
Сечение плоскостью Oxz:
– парабола с вершиной O(0;0;0)
и осью Oz.
Сечение плоскостью Oxy:
– точка O(0;0;0)
– вершина эллиптического параболоида.
Из
уравнения (1) следует, что 
.
Таким образом, эллиптический параболоид
расположен по одну сторону от плоскости
Oxy
и имеет с ней единственную общую точку
– начало координат O(0;0;0).
.
Сечение плоскостью 
или 
– эллипс с полуосями 
и 
и центром С(0;0;h).
При 
полуоси этого эллипса неограниченно
возрастает. При 
эллипс превращается в точку O(0;0;0).
.
Сечение плоскостью 
или 
или 
Второе
уравнение этой системы можно переписать
в виде: 
.
Оно задает некоторую параболу, равную
параболу с уравнением 
.
Итак, все сечения поверхности (1) плоскостями, параллельными плоскости Oxz, являются параболами.
Аналогично
можно показать, что все сечения поверхности
(1) плоскостями с уравнением вида 
(т.е. плоскостями 
)
также есть параболы.
.
Если в уравнении (1) 
,
то получаем поверхность, называемую
параболоидом вращения с каноническим
уравнением:
.
(2)
Эта
поверхность получается вращением
параболы с уравнениями: 
вокруг ее оси, т.е. оси Oz.
Можно показать, что любой эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения с помощью сжатия к точки, проходящей через ось вращения.
Изобразим теперь эллиптический параболоид.
.
Уравнение:
(3)
Задаёт эллиптический параболоид, симметричный эллиптическому параболоиду (1) относительно Oxy.
Пример.
Изобразим
поверхность второго порядка 
Решение.
или 
.
– параболоид вращения с осью вращения
Oz,
вершина 
(0;0;1)
.
– окружность радиуса 
,
центр O(0;0;0).
§38. Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид задается своим каноническим уравнением:
.
(1)
.
Так как уравнение (1) содержит 
во
второй степени, то гиперболический
параболоид с уравнением (1) симметричен
относительно плоскостей Oxz,
Oyz
и оси Oz,
относительно плоскости Oxy,
осей Ox
и Oy
и начала координат он не симметричен.
Таким образом, гиперболический параболоид
имеет только одну ось симметрии, две
плоскости симметрии и не имеет центра
симметрии (центра).
. Гиперболический параболоид с уравнением (1) имеет единственную вершину – начало координат:
– вершина или узловая точка.
. Сечение плоскостью Oxz:
- парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz. (2)
Сечение плоскостью Oyz:
– парабола с вершиной O(0;0;0)
и осью Oz.
(3)
Заметим, что параболы (2) и (3) расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях Oxy.
Сечение плоскостью Oxy:
или 
(4)
Пара прямых, пересекающихся в начале координат O(0;0;0).
.
Сечение плоскостью 
или 
или 
(5)
Второе
уравнение системы (5) задает параболу
полученную из параболы с уравнениями
(2) с помощью параллельного переноса.
Вершина этой параболы находится в точке
.
Заметем также, что координаты точки удовлетворяют уравнениям (3):
или 
.
Таким образом, вершина параболы (5) принадлежит и параболе (3).
.
Сечение плоскостью 
^
Возможны три случая:
1)
– гипербола с действительной осью,
параллельной оси Ox.
2)
– пара прямых, пересекающихся в вершине
O(0;0;0)
поверхности.
3)
– гипербола с действительной осью,
параллельной оси Oy.
Аналогично
можно показать, что в сечении поверхности
(1) плоскостью 
с уравнением 
получается парабола, равная параболе
.
Оси этих парабол имеют положительное
направление, определяемое вектором
.
Таким образом, гиперболический параболоид получается параллельным переносом параболы с уравнением (5), когда ее вершина перемещается по параболе с уравнением (3). При этом в случае совпадения точки с началом координат O(0;0;0) параболы (5) и (2) совпадают.
Изобразим теперь гиперболический параболоид.
