§ 4. Прямоугольная декартова система координат

Определение. Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой, если ее координатные векторы составляют ортонормированный базис .

;

.

Теорема 1. Расстояние между точками А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) в прямоугольной декартовой системе координат выражается формулой:

.

Доказательство. По определению длины вектора имеем:

, где .

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть 1) старая и новая системы координат – прямоугольные декартовы: и ; 2) новое начало координат имеет в старой системе координаты и : ; 3) новая ось абсцисс составляет со старой осью абсцисс Ox угол α: . Тогда старые координаты х и у точки М выражаются через новые координаты этой точки и по формулам:

1) При системах координат одинаковых типов:

(1)

2.) При системах координат различных типов:

(2)

Доказательство. 1 случай. Пусть обе системы координат правые. Отложим от одной точки О координатные векторы старой системы , и координатные векторы новой системы , .

Так как по условию теоремы , , то по определению косинуса и синуса при α имеем:

(3)

Так как , то аналогично имеем по определению косинуса и синуса угла и формулам приведения:

(4)

Подставляя выражения (3) и (4) в общие формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой из §3, получаем:

(1)

2 случай. Системы координат различных типов, например, старая – правая, новая – левая.

; .

Теорема доказана.

Замечание. В соответствии с замечанием 2 из §2 имеем при системах координат одинаковых типов:

из (1) ,

а при системах координат различных типов:

из (2) .

Следствие 1. Если новая система координат получена из старой с помощью параллельного переноса, то α=0⁰ и формулы (1) принимают вид (cos 0⁰=1, sin0⁰=0):

Следствие 2. Если новая система координат получена из старой с помощью поворота на угол α вокруг начала координат, то х₀=у₀=0 и формулы (1) принимают вид:

§5. Полярная система координат

Определение 1. Полярной системой координат называется совокупность точки О – полюса – и проходящей через нее оси р – полярной оси, расположенных на положительно ориентированной плоскости.

Координатами произвольной точки М в этой системе координат называются числа ρ и Ө, где:

1) расстояние ρ=ОМ – полярный радиус,

2) угол Ө между положительным направлением оси р и лучом ОМ – полярный угол, причем 0≤ ρ<+∞, -π<Ө₀≤ π – главное значение полярного угла Ө, Ө = Ө₀+2πк, к℮Z.

Для полюса О полярный радиус ρ=0, полярный угол не определен.

Замечание 1. Если полюс О совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат Оху, а полярная ось р – с осью абсцисс Ох, то имеем:

x=ρcosӨ

y=ρsinӨ, обратно:

ρ=

tgӨ= для М(х;у), х≠0

Если х=0, то Ө= или Ө= - в зависимости от знака у.

Пример 1. Найти полярные координаты точки М(-2;-2).

ρ = tg Ө= . Так как х<0 и у<0, то точка М находится в III четверти и Ө=180⁰+45⁰=225⁰. Итак: ρ = , Ө₀=225⁰

^{( ρ)}

Замечание 2. По определению полярного радиуса ρ≥0, но иногда считают, что ρ может быть и отрицательным. Тогда предполагают, что точка М лежит на продолжении стороны угла Ө и ОМ= . В этом случае полярные координаты называются обобщенными.

Пример 2 . ρ = , Ө₀=225⁰

ρ =- , ρ Ө₀=45⁰

Определение 2. уравнение вида F(ρ, Ө)=0 называется уравнением линии в полярных координатах, если ему удовлетворяют полярные координаты каждой точки этой линии и только они.