7.7.Методика расчета цепей с несинусоидальными источниками

1. Заданную несинусоидальную функцию, питающую цепь, раскладывают в ряд Фурье и ограничиваются при этом тремя  четырьмя членами ряда, включая постоянную составляющую, если она есть.

2. Любым из известных методов расчета сложных электрических цепей производится расчет токов и напряжений заданной цепи. При этом используется комплексный метод расчета. Эта процедура выполняется для всех гармоник ряда, включая и постоянную составляющую, которая эквивалентна цепи с постоянным током.

Комплексное решение, полученное на каждой из гармоник складывать нельзя, с целью получения обобщенного решения задачи. Эту процедуру мешает выполнить то обстоятельство, что соответствующие полученным решениям векторы будут вращаться с различными угловыми частотами. Поэтому полученные комплексные решения должны быть переведены в реальные функции времени и лишь затем просуммированы, основываясь на принципе наложения.

Сказанное проиллюстрируем примером по рис. 7.7.

a) b)

Рис.7.108. Форма подаваемого напряжения (a) и схема исследуемой цепи (b)

U_вх = 100В  действующее значение (для первой гармоники), X_L = 25 Ом, X_C = 100 Ом, R = 50 Ом.

Определить действующее напряжение на выходе, ограничиваясь первыми тремя членами ряда, на который можно разложить функцию u_вх(ωt).

Используя известное разложение, получим

;

;

.

Для определения функции выходного напряжения составим передаточную функцию исходной цепи, которая связывает входное и выходное напряжения и является частотно-зависимой:

; ; ;

; ; ;

.

При k = 0 .

При k = 2 .

Полученный результат показывает, что амплитуда выходного сигнала в точности равна амплитуде входного. Фаза выходного напряжения на этой же гармонике опережает фазу входного напряжения на 90°.

При k = 4 .

Используя полученный результат, трансформируем входной ряд напряжения и получим соответствующий ряд выходного напряжения в реальном времени.

;

.

В случае если на выходе появилась бы постоянная составляющая, то ее также необходимо учесть путем внесения под знак корня квадрата ее величины (делить на нельзя).

7.8.Высшие гармоники в трехфазных цепях

Рассмотрим процесс поведения высших гармоник в трехфазных системах. При этом будем полагать, что фазные напряжения источника не содержат постоянных составляющих и четных гармоник, т.е. кривые напряжения симметричны относительно оси абсцисс, которые на практике встречаются наиболее часто.

Пусть напряжение фазы А источника, разложенное в ряд Фурье, имеет вид

При записи напряжений фаз В и С учтем, что фаза В отстает от фазы А на Т/3, а фаза С опережает фазу А на Т/3, тогда

Для гармоник кратных трем (k = 3n, где n – целое число) напряжения во всех фазах совпадают и одинаковы по величине, т.е. они образуют симметричную нулевую последовательность фаз.

Если номер гармоники k = 3n + 1, то напряжения образуют систему прямой последовательности фаз, когда напряжение отстает от фазы на угол 2 /3, а опережает на такой же угол. Для гармоник с номером k = 3n – 1 напряжения образуют систему обратной последовательности фаз, когда опережает на 2/3, а отстает от на этот же угол.

На рис. 7.8 показаны симметричные составляющие соответствующих систем напряжений в трехфазных цепях.

Гармоники Гармоники Гармоники

3, 6, 9, 12 и т.д. 1, 4, 7, 10 и т.д. 2, 5, 8, 11 и т.д.

Рис.7.109. Симметричные составляющие системы несинусоидальных напряжений в трехфазных цепях