3.4.Метод двух узлов

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов.

Рис.3.43. Разветвленная цепь с двумя узлами

Для вывода метода выполним следующие рассуждения. Пусть, к примеру, ₁ > ₂, тогда U₁₂ убывает от узла 1 к узлу 2.

;

. 83(3.80)

Для произвольно выбранных направлений токов имеем

;

;

;

.

Проверка правильности полученных результатов осуществляется по первому закону Кирхгофа.

3.5.Принцип наложения, метод наложения

Используя метод контурных токов, можно получить обобщенное уравнение по расчету любого i-го контурного тока. Сомножитель перед имеет размерность Ом ^{– 1}, то есть уравнение будет иметь следующий вид:

.84

В общем случае это уравнение применимо для любого i-го контурного тока, однако, оно справедливо и для любого реального тока в ветви, так как всегда можно систему независимых контуров выбрать так, чтобы ток ветви численно равнялся контурному току. Если в уравнении (3.8) учесть, что контурная ЭДС есть сумма всех ЭДС контура, то, перегруппировав слагаемые таким образом, чтобы каждая ЭДС умножалась на соответствующую сумму слагаемых вида , получим уравнение для тока ветви

. (3.81)

В правой части уравнения (3.11) имеем сумму слагаемых – токов, созданных каждой из ЭДС в отдельности.

Принцип наложения: ток любой i-ой ветви равен алгебраической сумме токов, созданных каждой из ЭДС цепи в отдельности.

Рис.3.44. Иллюстрация принципа наложения

На сформулированном принципе базируется метод наложения, суть которого состоит в следующем: в исходной электрической цепи поочередно закорачиваются все источники ЭДС, кроме одного, и производится расчет частичных токов в ветвях любым из известных методов.

Для определения реальных токов в исходной цепи производится алгебраическое суммирование этих частичных токов:

;

;

.

3.6.Входные и взаимные проводимости

Пусть дана некоторая электрическая цепь, содержащая единственный источник ЭДС в k-ой ветви. Кроме того, выделим еще одну ветвь – m-ю, а всю оставшуюся часть электрической цепи представим в виде некоторого пассивного четырехполюсника (Рис. 3 .45).

Рис.3.45. Схема пассивного четырехполюсника

Определим k-й и m-й токи. Используя уравнение (3.11), запишем выражение для k-го и m-го токов

;

.

Если E_k = 1В, то ; ;

k-й и m-й токи численно равны своим проводимостям при условии, что E_k = 1В. Y_kk – входная проводимость k – ой ветви. Y_kn – взаимная проводимость k – ой и m - ой ветви. Рассмотрим пример определения входных и взаимных проводимостей (Рис. 3 .46).

Рис.3.46. Схема замещения пассивного четырехполюсника

Представим пассивный четырехполюсник в виде схемы Рис. 3 .46 и составим для нее уравнения по методу контурных токов.

;

;

;

;

;

.

3.7.Свойство взаимности

Рассмотрим еще одно важное свойство, имеющее место в сложных цепях, присущее линейным электрическим цепям, базирующееся на понятиях входных и взаимных проводимостей.

Рис.3.47. Схемы, иллюстрирующие принцип взаимности

;

.

Докажем, что взаимные проводимости Y_kk и Y_kn равны. Пусть для некоторой многоконтурной схемы составлена система уравнений по методу контурных токов, и главный определитель системы имеет вид

Этот определитель всегда симметричен относительно первой главной диагонали, проходящей через элементы Z₁₁ – Z_nn, т.к. любой элемент Z_km=Z_mk (сопротивления, расположенные на границе k-ого и m-ого контуров). У такого определителя строка m не отличается от столбца k и поэтому алгебраические дополнения, полученные вычеркиванием k-ой строки и m-ого столбца и наоборот, равны, следовательно

. 85(3.82)

Пусть и  .

Свойство взаимности: если ЭДС k-ой ветви вызывает в m-ой ветви ток I_m, то, будучи перенесенным в m-ю ветвь, этот же источник вызовет ток той же амплитуды и фазы в k-ой ветви.

Цепи, обладающие такими свойствами, носят название обржатимых цепей. Все линейные цепи обратимы.