Курсовая работа по курсу «Дискретная математика»

Тема: Разработка алгоритма и программного обеспечения для решения прикладной задачи теории графов

Вариант №…

Содержание курсовой работы

Пояснительная записка к курсовой работе должна содержать следующие разделы:

• постановка задачи;

• теоретическая часть;

• описание алгоритма решения поставленной задачи;

• ручной просчет (на небольшом примере показать работу алгоритма);

• описание программы;

• тесты;

• список использованной литературы;

• листинг программы.

ЗАДАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

1. Некоторые базисные алгоритмы обработки графов

   1. Нахождение минимального пути в графе

Путь в орграфе D из вершины v в вершину w, где v  w, называется минимальным, если он имеет минимальную длину среди всех путей орграфа D из v в w.

Назовем орграф D = (V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция l : X  R, которую часто называют весовой функцией. Значение l(x) будем называть длиной дуги x. Предположим, что l(x)  0. Длиной пути П в нагруженном орграфе будем называть величину l(П), равную сумме длин дуг, входящих в П, при этом каждая дуга учитывается столько раз, сколько она входит в данный путь.

Нагруженный орграф можно задать с помощью матрицы весов С(D) = {c_ij}_nxn с элементами

l(v_i,v_j), если (v_i,v_j) X,

c_ij =

, если (v_i,v_j) X.

1. Найти минимальные пути от фиксированной вершины до произвольной вершины графа, используя алгоритм Дейкстры.

Рассмотрим алгоритм Дейкстры, который позволяет определить минимальный путь в орграфе между двумя заданными вершинами при условии, что этот путь существует.

Пусть s – начальная вершина, t – конечная вершина. На каждой итерации любая вершина v имеет метку l^*(v), которая может быть постоянной или временной. Постоянная метка l^*(v) – это длина кратчайшего пути от s к v, временная метка l(v) – это вес кратчайшего пути из s в v, проходящий через вершины с постоянными метками. Если на каком-то шаге метка становится постоянной, то она остается такой до конца работы алгоритма.

Вторая метка (v) – это вершина, из которой вершина v получила свою метку.

А л г о р и т м Д е й к с т р ы

Данные: матрица весов С(D) орграфа D, начальная вершина s.

Результат: расстояния от вершины s до всех вершин орграфа D: D[v] = d(s,v), v  V, а также последовательность вершин, определяющая кратчайший путь из s в v .

1. Положим l^*(s) = 0 и будем считать эту метку постоянной. Для всех v V, v  s, положим l^*(v) =  и будем считать эти метки временными. Положим p = s.

2. Для всех vГp с временными метками выполним: если l^*(v)>l^*(p)+l(p,v), то l^*(v)=l^*(p)+l(p,v) и (v) =р. Иначе l^*(v) и (v) не менять, т.е. l^*(v) = min (l^*(t), l^*(p)+c_pv). (Идея состоит в следующем: пусть p – вершина, полу­чившая постоянную метку l^*(p) на

предыдущей итерации. Просматриваем все вершины vГp, имеющие временные метки. Метка l^*(v) вершины vГp заменяется на l^*(p)+l(p,v), если оказывается, что ее метка l^*(v)>l^*(p)+l(p,v). В этом случае говорим, что вершина v получила свою метку из вершины p, поэтому положим (v) = p. С помощью этих допол­нительных меток будем потом восстанавливать сам путь. Если l^*(v)  l^*(p)+c_pv, то метки остаются прежними.

3. Пусть V* - множество вершин с временными метками. Найдем вершину v* такую, что l^*(v*) = min l^*(v), v V*. Считать метку l^*(v*) постоянной для вершины v*.

4. Положим p = v*. Если p = t, то перейдем к п.5 ( l^*(t) – длина минимального пути ). Иначе перейдем к п.2.

5. Найдем минимальный путь из s в t, используя метки (v): П = s…(t)t.

Заметим, что, если продолжить работу алгоритма Дейкстры до тех пор, пока все вершины не получат постоянные метки, то мы получим расстояния от начальной вершины s до произвольной вершины графа.