Помечивающий алгоритм Форда – Фалкерсона для нахождения максимального потока

Данные: транспортная сеть D, заданная матрицей пропускных способностей дуг.

Результат: максимальный поток в сети.

Построить произвольный поток φ на транспортной сети D (например, положить φ(u) = 0 для любой дуги u ).
Просмотреть пути, соединяющие вход сети v₁ с выходом v_n. Если поток φ полный, то перейти к п.4.
В противном случае рассмотреть путь μ, соединяющий вход сети v₁ с выходом v_n, все дуги которого не насыщены. Построить новый поток φ´:

где . Повторить этот процесс до получения

полного потока φ.

Присвоить целочисленные метки вершинам сети D и знаки «+» или «-» дугам по правилам:

входу v₁ присвоить метку 0,
если вершина v_i получила некоторую метку, а y - еще непомеченная вершина, то вершине yГv_i, такой что φ((v_i,y))<c((v_i,y)) присвоить метку i, а дуге (v_i,y) – знак «+»; вершине y Г^-1v_i , такой, что φ((y,v_i))>0, присвоить метку i, а дуге (y,v_i) – «-». Остальные непомеченные вершины и дуги метки и знаки не получают;
повторять процесс, описанный в предыдущем пункте до тех пор, пока не прекратится появление новых отмеченных вершин и дуг. Если в результате выполнения этого пункта вершина v_n не получит метки, то поток является максимальным. В противном случае перейти к п.5.

Рассмотреть последовательность отмеченных вершин λ=(v_n,v_i1, v_i2,…,v₁), каждая из которых имеет метку, равную номеру последующей вершины, и последовательность μ (не обязательно путь), соединяющих последовательные вершины из λ. Построить новый поток φ´:

Перейти к пункту 4.

Пример. Рассмотрим транспортную сеть D и полный поток φ, для которого = 14:

(1,+)

7(8) 7(7)

0 (1,+) 5 (3,-) 6 (4,+)

1 4(5) 3 6(7) 1(1)

3(3) 10(10) 0(3) 13(15)

4 (5,+) Рис. 1.

Присвоим вершине 1 метку 0, тогда вершине 2 присвоим метку (1,+), т.к. φ((1,2))<c((1,2)). Т.к. φ((2,5))=c((2,5)), то переходим к вершине 3, которой присвоим метку (1,+), затем вершине 5 – (3,-), вершине 4 – (5,+), вершине 6 – метку (4,+). Рассмотрим последовательность вершин λ=(6,4,5,2,1), и построим новый поток, величина которого равна 15.