1. Системы различных представителей

Пусть <A₁,…,A_n> - произвольная последовательность множеств (необязательно непересекающихся и необязательно различных). Системой различных представителей для <A₁,…,A_n> будем называть такую произвольную последовательность <а₁,…,а_n>, что и . Мы будем говорить, что в такой системе различных представителей элемент a_i представляет множество A_i. Проблема существования и построения системы различных представителей известна во многих неформальных постановках. Одна из них – это так называемая «задача о комиссиях». Имеется n комиссий, причем A_i – множество членов i-й комиссии. Нужно в каждой комиссии выбрать председателя так, чтобы ни один человек не был председателем более чем в одной комиссии.

Нетрудно заметить, что задача о комиссиях сводится к частному случаю «задачи о назначениях». Действительно, создадим множества

,

(элементы x₁,…,x_m, y₁,…,y_n попарно различны) и

.

Очевидно, что каждая система различных представителей <а₁,…,а_n> однозначно соответствует паросочетанию мощности n в двудольном графе D = (X,Y,E).

Задача27. Решить задачу о системе различных представителей, сведя ее к задаче построения совершенного паросочетания в двудольном графе и используя алгоритм чередующихся цепей (см. п.2.2.3).

37