- •Курсовая работа по курсу «Дискретная математика»
- •Некоторые базисные алгоритмы обработки графов
- •Нахождение минимального пути в графе
- •Найти минимальные пути от фиксированной вершины до произвольной вершины графа, используя алгоритм Дейкстры.
- •Найти минимальные пути от фиксированной вершины до произвольной вершины графа, используя алгоритм Форда-Беллмана.
- •А л г о р и т м Форда – Беллмана
- •Найти минимальные пути между всеми парами вершин, используя алгоритм Флойда.
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Построить эйлеров цикл в графе. А л г о р и т м построения эйлерова цикла
- •Построить эйлерову цепь в графе.
- •Гамильтоновы цепи и циклы
- •Генерирование всех перестановок заданного множества
- •Генерирование всех перестановок заданного множества в лексикографическом порядке
- •Рекурсивный алгоритм генерирования всех перестановок заданного множества в лексикографическом порядке
- •В первой перестановке элементы идут в растущей последовательности, а в последней – в убывающей другими словами последняя перестановка является обращением первой,
- •Генерирование всех перестановок заданного множества в антилексикографическом порядке
- •Найти минимальный остов графа, используя алгоритм Краскала.
- •Найти минимальный остов графа, используя алгоритм Прима.
- •Поиск в графах
- •Алгоритм с возвратом
- •Раскраска графа
- •Алгоритм раскрашивания графов
- •Найти хроматическое число заданного графа, используя алгоритм с возвратом для нахождения независимых множеств вершин, указать, какие вершины в какой цвет окрашиваются.
- •Найти хроматический класс заданного графа, используя алгоритм с возвратом для нахождения независимых множеств вершин реберного графа, указать, какие ребра в какой цвет окрашиваются.
- •Паросочетания
- •Построения полного потока в сети
- •Максимальный поток
- •Построения максимального потока
- •Алгоритм меток для нахождения максимального потока
- •Помечивающий алгоритм Форда – Фалкерсона для нахождения максимального потока
- •Некоторые прикладные задачи
- •Задачи об источниках и потребителях
- •Решить задачу об источниках и потребителях, сведя ее к задаче построения максимального потока в транспортной сети и используя первый алгоритм построения максимального потока .
- •Двудольные графы и паросочетания
- •Нахождение наибольшего паросочетания в двудольном графе
- •Построение совершенного паросочетания в двудольном графе
- •Системы различных представителей
Генерирование всех перестановок заданного множества в антилексикографическом порядке
Антилексикографический порядок (обозначим ) определяется следующим образом:
x1,x2,…xn < y1,y2,…,y n существует такое kn, что xk yk и xp = yp для каждого p k..
Для примера приведем перестановки множества X = {1,2,3} в антилексикографическом порядке: 123, 213, 132, 312, 231, 321.
Алгоритм генерирования перестановок в антилексикографическом порядке сформулировать удобнее. Заметим, что последовательность перестановок множества {1,2,…, n} в этом случае имеет следующие свойства, вытекающие непосредственно из определения:
-
в первой перестановке элементы идут в растущей последовательности, в последней – в убывающей другими словами, последняя перестановка – обращение первой,
-
последовательность всех перестановок можно разделить на n блоков длины (n-1), соответствующих убывающим значениям элемента в последней позиции. Первые n-1 позиций блока, содержащего элемент р в последней позиции, определяют последовательность перестановок множества {1,2,…, n}\{р} в антилексикографическом порядке.
Сгенерируем в антилексикографическом порядке все перестановки для n=4, получим
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
3 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
3 |
2 |
4 |
1 |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
|
1 |
4 |
2 |
3 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
1 |
4 |
|
4 |
2 |
1 |
3 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
-
Построить гамильтонов цикл в графе, используя нерекурсивный алгоритм генерации всех перестановок вершин в лексикографическом порядке
-
Построить гамильтонов цикл в графе, используя рекурсивный алгоритм генерации всех перестановок вершин в лексикографическом порядке
-
Построить гамильтонов цикл в графе, используя рекурсивный алгоритм генерации всех перестановок вершин в антилексикографическом порядке.
-
Построить гамильтонову цепь в графе, используя нерекурсивный алгоритм генерации всех перестановок вершин в лексикографическом порядке
-
Построить гамильтонову цепь в графе, используя рекурсивный алгоритм генерации всех перестановок вершин в лексикографическом порядке
-
Построить гамильтонову цепь в графе, используя рекурсивный алгоритм генерации всех перестановок вершин в антилексикографическом порядке.
-
Построить гамильтонов цикл в графе, используя алгоритм с возвратом.
-
Построить гамильтонову цепь в графе, используя алгоритм с возвратом.
-
Построение остова минимального веса
Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов.
Остовом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.
Остовное дерево связного нагруженного графа G с минимальной суммой длин содержащихся в нем ребер, будем называть остовом минимального веса или минимальным остовным деревом (МОД).
Рассмотрим граф G = (V,X), где V={v1,…,vn}.