3.8.Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование

При расчете разветвленных цепей и, особенно, при определении их входных сопротивлений может возникнуть вопрос о преобразовании треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или обратного преобразования. Такая процедура становится возможной при условии неизменности потенциалов на зажимах преобразуемого участка цепи.

Рассмотрим участок цепи, соединенный треугольником (Рис. 3 .48).

Составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для «треугольника».

Рис.3.48. Взаимное преобразование «треугольника» в «звезду»

По первому закону Кирхгофа

«1 узел»: ;

«2 узел»: .

По второму закону Кирхгофа

.

Решим эту систему уравнений, например, относительно тока

Определим напряжение :

в схеме «треугольник»

;

в схеме «звезда»

Причем, должно выполняться такое равенство: . Приравнивая эти выражения, получим формулы перехода от соединения сопротивлений «треугольником» к сопротивлениям «звезды»

.86(3.83)

Покажем на примере применимость данного преобразования.

Рис.3.49. Преобразование «треугольника» сопротивлений в «звезду»

Рис.3.50. Преобразование «звезды» сопротивлений в «треугольник»

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник» выполняется по формулам перехода

87(3.84)

3.9.Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.

Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую представим активным двухполюсником (Рис. 3 .51). Необходимо рассчитать ток в ветви ab:

1) введем в ветвь ab два источника ЭДС и , одинаковые по величине и противоположно направленные

;

Рис.3.51. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей

2) используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС . Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник и источник ЭДС .

На основании принципа наложения ток ветви ab,

;

; .

Поскольку – любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток был равен нулю. Для этого выберем .

Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равна его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником может быть представлен в виде:

Рис.3.52. Схема замещения активного двухполюсника

В этой схеме эквивалентная ЭДС активного двухполюсника

и следовательно, ток

.

Таким образом, ток в ветви ab

. 88(3.85)

Пусть дана цепь (рис.2.12), рассчитаем ток методом эквивалентного генератора.

Рис.3.53. Исходная цепь

Последовательность расчета:

1. Разомкнем ветвь с сопротивлением Z₁ или примем Z₁ =  .

2. Зададим положительное направление и для произвольно выбранных положительных направлений токов, например, первого контура, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

.

3. Токи и в преобразованной схеме (рис. 3.13) рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов

Тогда ; .

Рис.3.54. Преобразованная цепь

4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя для реальных источников их внутренние сопротивления.

Рис.3.55. Схема пассивного двухполюсника

В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a-b, так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.

Заменим, например, треугольник сопротивлений Z₂ – Z₃ – Z₅ в звезду Z₂₃ – Z₂₅ – Z₃₅. При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (Рис. 3 .55).

Сопротивления этой схемы

и эквивалентное сопротивление

.

Окончательно

.