4. Зразок виконання роботи

1. Початкові дані згідно з варіантом подані в табл. 1.4.

Таблиця 1.4

Початкові дані

і	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	2,0	2,1	2,8	4,1	4,7	5,6	7,2	7,7	9,3	10,8	12,3

2. В таблицю 1.5 заносимо початкові дані та визначаємо значення x_i², x_iy_i, x_i³, x_i⁴, x_i²y_i.

3. Визначаємо квадратичне наближення лінійною функцією

.

Для цього, знаючи відхилення у вузлах ,

мінімізуємо квадратне зважування

.

Одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів а₁₁ та а₀₁:

Т

Робота №1

аблиця 1.5

Результати розрахунків

і	хі	уі	хі2	хіуі	уLі	(ΔуLі)2	хі3	хі4	хі2уі	уKі	(ΔуKі)2
1	0	2,0	0	0,0	0,985	1,030	0	0	0,0	1,786	0,046
2	1	2,1	1	2,1	2,035	0,004	1	1	2,1	2,355	0,065
3	2	2,8	4	5,6	3,085	0,081	8	16	11,2	3,030	0,053
4	3	4,1	9	12,3	4,135	0,001	27	81	36,9	3,811	0,084
5	4	4,7	16	18,8	5,185	0,235	64	256	75,2	4,698
6	5	5,6	25	28,0	6,235	0,403	125	625	140,0	5,691	0,008
7	6	7,2	36	43,2	7,285	0,007	216	1296	259,2	6,790	0,168
8	7	7,7	49	53,9	8,335	0,403	343	2401	377,3	7,995	0,087
9	8	9,3	64	74,4	9,385	0,007	512	4096	595,2	9,306
10	9	10,8	81	97,2	10,435	0,133	729	6561	874,8	10,723	0,006
11	10	12,3	100	132,0	11,485	0,664	1000	10000	1320,0	12,246	0,003
	55	68,6	385	458,5	-	2,968	3025	25333	3601,9	-	0,52
	5	6,24	35	41,68	-	0,270	275	2303	327,45	-	0,047

Обчислюємо визначники цієї системи:

; ; .

Визначимо коефіцієнт а₁₁ та а₀₁:

; .

Отже, інтерполяційний двочлен має вигляд:

.

4. Визначаємо значення інтерполяційного двочлена в точках х_і за формулою

,

відхилення у вузлах за формулою

.

Результати обчислених значень y_Li та (Δy_Li)² записуємо в табл. 1.5.

Інтерполяція функцій методом найменших квадратів

5. У випадку наближення лінійною функцією максимальне відхилення буде в першому вузлі і дорівнює , а мінімальне середньоквадратичне відхилення

.

6. Визначимо квадратне наближення квадратним тричленом

.

Знаючи відхилення у вузлах

,

мінімізуємо квадратне зважування

.

Одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів а₂₂, а₁₂ та а₀₂ :

Обчислимо визначники цієї системи:

;

;

Робота №1

;

.

Визначаємо коефіцієнти а₂₂, а₁₂ та а₀₂ :

;

;

.

Отже, інтерполяційний тричлен має вигляд:

.

7. У випадку наближення параболічною функцією максимальне відхилення буде в сьомому вузлі й дорівнює , а мінімальне середньоквадратичне відхилення

.

8. Із розрахунків видно, що < , < .

Подальше збільшення степеня інтерполяційного многочленна недоцільне.

9. Будуємо графіки функцій (рис. 1.2):

{x_i, y_i}, i=1, … , 11;

y_L = 1,05x + 0,985;

y_K = 0,053x² + 0,516x + 1,786.

Інтерполяція функцій методом найменших квадратів

Рис. 1.2. Графіки функцій

Робота №1