1.4. Задача інтерполяції

Тепер, коли ми маємо уявлення про деякі особливості інтерполювання, більш строго сформулюємо задачу інтерполяції.

Нехай f(x) – деяка невідома функція, що задана на відрізку [a, b]. Відомі значення f(x) у N точках x_i, i=1, 2,..., N, тобто у вузлах інтерполяції. Ставиться задача за вихідними даними {x_i, f(x_i)} визначити функцію f(x) на [a, b] точно (тобто її саму) або наближено, як деяку функцію φ(x) на [a, b].

Оскільки передбачається наближене визначення функції, то оцінка похибки інтерполяції стає особливо важливою. Вона здійснюється лише на завершальній стадії інтерполювання.

Очевидним для зменшення похибки інтерполювання є збільшення кількості вузлів інтерполювання. Це робить метод точкової інтерполяції дуже громіздким. Але існують методи, які дозволяють істотно збільшити кількість вузлів інтерполяції, неістотно ускладнюючи процедуру розв’язування. Серед цих методів особливе місце займає метод найменших квадратів.

1.5. Метод найменших квадратів

Згідно з методом найменших квадратів, відмовляються від проходження функції φ(x) через вузли інтерполяції. Задача стає однозначно наближеною. Така поступка дозволяє шукати поліном невисокого степеня n, який проходить у межах поля допусків, не порушуючи цільової функції. При цьому вводиться особлива числова міра похибки інтерполювання. Похибка оцінюється інтегралом

. (1.10)

Якщо інтеграл I поділити на число (b-a), то одержимо середньоінтегральне відхилення. Добувши з нього корінь, матимемо середньоквадратичне відхилення

. (1.11)

У випадку дискретної функції, що задана на відрізку [a, b] із N рівномірно розташованими вузлами

Інтерполяція функцій методом найменших квадратів

,

.

Формула (1.11) набуває вигляду

. (1.12)

Найкращим серед всіх можливих вважається такий поліном S_n(x) з відповідними значеннями коефіцієнтів a₀, ..., a_k, ... a_n, який має мінімальне середньоквадратичне відхилення. Тому цільова функція має такий вигляд:

. (1.13)

Оскільки , то, згідно з рівнянням (1.10), середньо­квадратичне відхилення Δ_к є функцією невідомих a₀,..., a_k,...a_n. Тому умова мінімізації зводиться до системи

, . (1.14)

Це система (n+1) лінійних алгебраїчних рівнянь із (n+1) невідомими коефіцієнтами.

Її розв’язок визначає многочлен  n-го степеня, середньоквадратичне відхилення якого від вузлів інтерполювання мінімальне.

У методі найменших квадратів відхилення на відрізку опосередковано, але ж контролюється з допомогою хоча і мінімізованого, та все ж таки усередненого (середньоквадратичного) відхилення. Це означає, що навіть мінімізація середньоквадратичного відхилення не виключає локальних виплесків відхилень за допустимі межі. І виявити це можна лише на завершальній стадії інтерполювання. Але метод інтерполювання достатньо простий і ефективний, тому широко застосовується в задачах синтезу. Даний метод особливо незамінний при обробці експериментальних даних. Справа в тому, що експериментальні вимірювання завжди наближені. За певних обставин навіть строго лінійний закон під впливом випадкових факторів при вимірюваннях виглядає досить спотвореним. Метод найменших квадратів дозволяє згладити вплив випадкових відхилень, залишаючи лише відхилення з малою дисперсією. Цей метод особливо ефективний, якщо похибки незалежні і відповідають нормальному розподілу. Хоча метод найменших квадратів не виправляє регулярних похибок, його значення при обробці експериментальних даних важко переоцінити.

Робота №1