1.2. Метод точкової інтерполяції

Досі функцію f(x) ми розглядали як задану. При обробці експериментальних даних функція f(x), як правило, невідома, а відомі лише її значення у вузлах інтерполяції. Потрібно знайти аналітичний вираз функції f(x). На даному етапі припускаємо, що експериментальні вимірювання абсолютно точні. Навіть це припущення не дає підстав на точне встановлення функції f(x), але робиться все, щоб одержати прийнятний результат. Враховуючи дане припущення та добрі апроксимуючі властивості алгебраїчних многочленів, ми шукаємо такий многочлен, який збігається з вузлами інтерполяції в N точках, а між вузлами дає похибку інтерполювання Δ(x), що не перевищує допустимого значення [Δ].

Похибкою інтерполювання називають різницю

. (1.6)

Оцінка похибки принципова не тільки в теоретичному, а й у практичному змісті. Природним є очікування позитивного результату на обмеженому відрізкові [a, b] при збільшенні кількості вузлів інтерполяції. В прийнятності наближення можна переконатися при практичному використанні одержаної функції. Теоретично f(x) невідома, тому питання достатнього інтерполяційного наближення завжди відкрите і потребує подальшої перевірки.

В

Робота №1

ипадково інтерполяція може виявитись точною і між вузлами. Так, якщо функціональна залежність y = a₁x + a₀ дійсно лінійна, то достатньо зробити лише два вимірювання і за двома вузлами визначити коефіцієнти a₀ і a₁. Для параболічної залежності y = a₂x² + a₁x + a₀ досить трьох вимірів і так далі. Наведені приклади точкової інтерполяції не виключають можливості точного встановлення аналітичної форми функції. Але питання точного визначення функції завжди залишається відкритим.

Недоліком точкової інтерполяції є те, що відхилення Δ(x) між вузлами не контролюється, а перевіряється. Збільшення кількості вузлів збільшує ймовірність одержати прийнятний результат, але суттєво ускладнює реалізацію методу. При невеликій кількості вузлів інтерполяції цей метод досить простий і часто дає добрі результати.

1.3. Точкова інтерполяція в задачі синтезу

Нехай задана деяка ідеальна функція (характеристика)

, (1.7)

яку треба реалізувати за допомогою деякої електронної схеми. Вихідна характеристика будь-якої реальної схеми визначається певною кількістю її внутрішніх параметрів . Цю характеристику називають розрахунковою функцією

. (1.8)

Точна реалізація ідеальної функції можлива лише як виняток. Розрахункова функція відтворює ідеальну функцію наближено і може задовольняти конструктора, якщо відповідає ряду умов. Серед всіх інших виділяють основну умову, яку називають цільовою функцією. В задачі синтезу цільова функція як умова обмежує похибки інтерполювання допустимими значеннями відхилень [Δ]. Наприклад,

, . (1.9)

У задачі синтезу методом точкової інтерполяції кількість вузлів інтерполяції не більша за кількість параметрів n ( ). На рис. 1.1 зображена функція, що проходить через N вузлів і не виходить за межі допусків.

Інтерполяція функцій методом найменших квадратів

Рис. 1.1. Функція в межах допуску

Щоб глибше усвідомити проблеми методу точкової інтерполяції, наведемо типовий алгоритм синтезу:

1. Задають найбільш просту електронну схему, яка має найменшу кількість параметрів n, та її характеристику y₀(x) в аналітичній формі.

2. Задають кількість вузлів інтерполяції N ( ).

3. Визначають значення x₁, ..., x_N вузлів інтерполяції, розподіляючи на першому етапі вузли рівномірно на відрізку [a, b].

4. Визначають значення ідеальної функції y₃(x_i) у вузлах інтерполяції.

5. Знаходять значення параметрів q₁,...,q_n, виходячи з умови , і тим самим знаходять розрахункову функцію .

6. Перевіряють умову цільової функції про обмеження похибки Δ(x)≤[Δ] на всьому відрізкові [a, b].

Якщо умова цільової функції виконується, то задачу синтезу мож­на вважати завершеною. Досить часто її продовжують уже як зада­чу оптимізаційного синтезу. Якщо умова цільової функції пору­шується, то задачу синтезу продовжують далі. Для її успішного завер­шення в залежності від ситуації найчастіше використовують такі заходи:

• зближують вузли, між якими порушуються допустимі відхилення; водночас при необхідності та можливості віддаляють вузли, між якими є запас для відхилення;

• я

  Робота №1

  кщо це можливо, зменшують відрізок [a, b];

• ускладнюють електронну схему, збільшуючи кількість параметрів і тим самим збільшуючи кількість вузлів інтерполяції.