3. Порядок виконання роботи

Для плати з матеріалу густиною ρ і модулем пружності Е згідно зі схемою закріплення, що задана, визначити:

1. Частоту власних коливань плати без елементів.

2. Частоту власних коливань плати з елементами, які на ній встановлені.

Механічні коливання плати

3. Таку схему закріплення, яка порівняно із заданою змінить частоту коливань плати з елементами, що визначена в попередньому пункті 2, приблизно в k разів.

4. Таку товщину плати h*, при якій її власна частота з елементами, що визначена в пункті 2, збільшиться в k разів.

Вказаний порядок виконання роботи потребує деяких пояснень. Власну частоту, яку одержимо в пункті 1, використовуємо як орієнтовне значення. Власну частоту, одержану в пункті 2 з урахуванням маси монтажних елементів, вважаємо умовно-резонансною. Тому шляхом зміни параметрів плати треба вийти за межі резонансної зони. При цьому ставиться задача змінити резонансну частоту в k разів. Це можна зробити багатьма способами, але розглядаємо лише два: зміна схеми кріплення плати та зміна товщини плати. Справа в тому, що зміна а і b плати може викликати зміну розмірів всієї конструкції. Але майже завжди є можливість збільшити товщину плати, а ось зменшити її значення можна лише в окремих випадках. Тому ми говоримо про збільшення власної частоти в k разів за рахунок збільшення h.

У випадку зміни схеми кріплення ми ставимо задачу зміни резонансної частоти в k разів. Це означає, що її можна або збільшити, або зменшити. Має місце така особливість: таблиця 3.2 при заданому відношенню містить 20 значень коефіцієнта С у залежності від схеми кріплення. Якесь з цих значень буде максимальним, а якесь – мінімальним. Задана схема одна з 20 і зміна f в k разів за рахунок зміни схеми кріплення може вивести потрібне значення С за межі 20 табличних значень. Тому, по-перше, розв’язок завжди буде наближеним, по-друге, із двох розрахункових значень вибирається найближче з можливих, наведених у табл. 3.2.

4. Приклад розрахунку механічних коливань плати

Для плати з матеріалу густиною ρ і модулем пружності Е (табл. 3.5) згідно із заданою схемою визначити:

1. Частоту власних коливань плати без елементів.

2. Частоту власних коливань плати з елементами, що на ній встановлені.

3. Таку систему закріплення, яка порівняно із заданою схемою змінить частоту власних коливань плати з елементами приблизно в k разів по відношенню до частоти, розрахованої в п. 2.

4. Таку товщину плати h*, щоб її власна частота з елементами, яка розрахована в п. 2, була збільшена в k разів (по можливості).

Т

Робота № 3

аблиця 3.5

Початкові параметри

Схема	h, см	a, см	b, см	mе, кг	ρ, кг/м3	Е, Н/м2	K	Ес, Н/м2	ρс, кг/м3
14	0,15	22	12	75·10-3	2,4·103	9·1010	1,4	21·1010	7,85∙103

Дана схема закріплення пластини №14

Розв’язання:

1. Визначаємо частоту власних коливань плати без елементів:

[Гц].

1.1. Знаходимо коефіцієнт K_м:

.

1.2. Знаходимо коефіцієнт K_e, враховуючи, що m_е = 0:

,

де m_е – маса елементів, m_п – маса плати.

1.3. Знаходимо коефіцієнт С, який залежить від схеми закріплення та відношення a/b.

Заданого відношення в таблиці немає. Треба здійснити лінійну інтерполяцію. Згідно з таблиці 3.2: 1,5<1,83<2 і відповідно 58<C<99. Складаємо пропорцію:

, звідки С=85,06.

1.4. Розраховуємо частоту власних коливань плати без елементів:

[Гц].

2

Механічні коливання плати

. Визначаємо частоту власних коливань плати з елементами, що на ній встановлені:

[Гц].

2.1. Знаходимо коефіцієнт K_м:

K_м = 1,18 (розрахунок приведений вище).

2.2. Знаходимо коефіцієнт K_e:

,

де маса плати m_п = V_п·ρ = abh·ρ = (22·12·0,15)·10^-6 ·2,4·10³= 95,04·10^-3 [кг].

Звідси .

2.3. Розраховуємо частоту власних коливань плати з елементами, які на ній встановлені:

[Гц].

3. Вибираємо таку схему закріплення, яка порівняно із заданою схемою змінить частоту власних коливань плати з елементами приблизно в k разів по відношенню до частоти, розрахованої в п. 2.

Для виконання цього пункту розглядаємо два варіанти:

С * = k · С = 1,4 · 85,06 ≈ 119,1 ; С₂* = .

Враховуючи, що в зарезонансній зоні умови роботи кращі, обираємо схему № 20, для якої при , С*=128,24.

При С* ≈ 128,24: [Гц]. Отже, .

4

Робота № 3

. Визначаємо таку товщину плати h*, щоб її власна частота з елементами, що розрахована в п.2, була збільшена по можливості в k разів.

.

В цій формулі лінійні розміри беремо в метрах.

Здійснивши перетворення, отримуємо:

. (*)

В цій формулі a·b·ρ = (22·12) · 10^-4 · 2,4 · 10³ = 63,36 [кг/м]

Підставляємо у формулу (*) значення величин k, K_e h, m_е і добутку abρ:

,

.

Методом підбору визначаємо таке h*, при якому дана рівність справджується:

h* ≈ 0,002 [м].

Права частина останньої рівності в даному випадку:

.

Отже, збільшення частоти власних коливань плати з елементами в 1,4 раз можливе за умови, що її товщина дорівнює приблизно 0,20 см при незмінних значеннях всіх інших параметрів.