Контрольные вопросы
1. Что представляют собой экономические индексы? Для чего они применяются?
2. Какие виды экономических индексов вы знаете?
3. Что характеризует индивидуальный экономический индекс и как он рассчитывается?
4. Что характеризует общий (сводный) экономический индекс?
5. Напишите формулы общих индексов: цен, физического объема и стоимости продукции. Что они характеризуют?
6. Чем отличаются индексы цен Пааше и Ласпейреса?
7. В каких случаях применяются среднеарифметический индекс физического объема продукции и среднегармонический индекс цены?
8. Как определить абсолютное изменение стоимости нескольких видов продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным в целом и за счет отдельных факторов?
9. В чем состоит экономический смысл индексов средних величин? Как они рассчитываются?
10. Какая существует взаимосвязь между индексами средних величин?
Тема 9. Корреляционно-регрессионный анализ
Корреляционно-регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения и степени тесноты связи между различными социально-экономическими явлениями и процессами или их признаками.
Признаки, обусловливающие
изменение других, связанных с ними
признаков, называют факторными
и обозначают
х. Признаки,
изменяющиеся под воздействием факторных
признаков, называют результативными
и обозначают
.
Связи между явлениями и их признаками классифицируются по:
– аналитическому выражению (линейная связь и нелинейная связь);
– направлению (прямая связь и обратная связь);
– степени тесноты (связь отсутствует, слабая, умеренная, сильная).
Линейная связь выражается уравнением прямой
,
где и – параметры линейной функции в уравнении связи, выражающей зависимость у от х.
Степень тесноты
связи между различными явлениями
определяют с помощью эмпирического
корреляционного отношения
(
)
,
где 
– дисперсия в ряду результативного
признака под влиянием фактора х,
т. е. рассчитанных по уравнению регрессии;
– дисперсия в ряду
фактических значений результативного
признака.
Если
,
т. е.
= 1, то существует полная зависимость
уx
от х.
Если
= 0, то вариация факторного признака не
влияет на вариацию результативного
признака.
В случае линейной зависимости между двумя признаками степень тесноты связи между ними можно определить также с помощью линейного коэффициента корреляции по формулам
r
=
и r
=
,
где – параметр линейной функции в уравнении связи, выражающей зависимость у от х;
и
– среднеквадратическое отклонение в
рядах х
и у,
соответственно;
– средняя величина факторного признака;
– средняя величина результативного признака;
– средняя величина
произведений факторного и результативного
признаков.
Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц изменяются значения результативного признака при изменении факторного признака на единицу. В случае прямой связи между признаками линейный коэффициент корреляции принимает положительные значения, а в случае обратной связи – отрицательные.
По величине линейного коэффициента корреляции судят о степени тесноты связи между признаками.
Величина коэффициента корреляции по модулю |
Теснота связи |
От 0 до ± 0,3 |
практически отсутствует |
От ± 0,3 до ± 0,5 |
слабая |
От ± 0,5 до ± 0,7 |
умеренная |
От ± 0,7 до ± 1,0 |
сильная |
Графически связь между двумя количественными признаками изучают с помощью поля корреляции.
Пример 1. Приводятся данные за 2004 г. по отдельным отраслям промышленности в целом по РФ:
Отрасль промышленности |
Среднегодовая численность персонала, тыс. чел. |
Объем промышленной продукции, млрд. руб. |
Среднемесячная номинальная заработная плата, тыс. руб. |
Электроэнергетика |
851 |
959 |
10,96 |
Топливная |
759 |
1 996 |
19,35 |
Черная металлургия |
690 |
1 126 |
9,35 |
Цветная металлургия |
579 |
669 |
13,45 |
Машиностроение |
3 180 |
1 748 |
6,68 |
Составить уравнение линейной функции, выражающей зависимость среднемесячной заработной платы от уровня производительности труда, и измерить тесноту связи между этими показателями. Полученную связь изучить графически.
Решение. Все предварительные расчеты представим в таблице. Факторный признак – уровень производительности труда, рассчитанная путем деления объема промышленной продукции на среднегодовую численность персонала (графа 2), результативный признак – размер средней месячной номинальной заработной платы (графа 3).
Отрасль промышлен-ности |
x |
y |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Электро-энергетика |
1,127 |
10,96 |
1,2701 |
12,3519 |
120,1216 |
10,405 |
Топливная |
2,630 |
19,35 |
6,9169 |
50,8906 |
374,4225 |
18,402 |
Черная металлургия |
1,632 |
9,35 |
2,6634 |
15,2592 |
87,4225 |
13,092 |
Цветная металлургия |
1,155 |
13,45 |
1,3340 |
15,5348 |
180,9025 |
10,554 |
Машино-строение |
0,550 |
6,68 |
0,3025 |
3,6740 |
44,6224 |
7,336 |
Итого |
7,094 |
59,79 |
12,4869 |
97,7159 |
807,4915 |
59,789 |
Вычисляем все необходимые показатели.
1,4188;
11,958;
19,54318;
2,49738;
61,64983;
0,696;
4,319.
Вычислим линейный коэффициент корреляции
r
=
=
= 0,857.
Для определения параметров линейной функции и составляют систему уравнений
Подставим в систему уравнений все вычисленные показатели
Решая эту систему уравнений, получаем, что = 4,40930 и = 5,32048.
Уравнение имеет
вид:
.
В графе 7 с помощью полученной линейной функции рассчитаем теоретические значения результативного признака.
Вычислим линейный коэффициент корреляции
r
=
=
=
0,857.
Зависимость средней
месячной номинальной заработной платы
от уровня производительности труда в
представленных отраслях промышленности
сильная (
близок к 1) и прямая (
больше
нуля), т. е. с увеличением производительности
труда увеличивается среднемесячная
номинальная заработная плата. Построим
поле корреляции.
Рис. 8. Поле корреляции
Поскольку наблюдается сосредоточение точек на графике, то существует сильная связь между уровнем производительности труда и среднемесячной номинальной заработной платой.
Оценку существенности корреляционной связи производят с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
Коэффициент
эластичности
(
)
показывает, на сколько процентов
изменяется результативный признак при
изменении факторного признака на 1% и
рассчитывается по формуле
=
,
где – среднее значение факторного признака;
– среднее значение результативного признака;
– параметр линейной функции, выражающей зависимость у от х.
Если с возрастанием факторного признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, то корреляционная зависимость может быть выражена параболой второго порядка
.
Система уравнений для расчета параметров параболы второго порядка принимает вид
При наличии линейной зависимости результативного признака от двух факторных признаков вычисляют множественный коэффициент корреляции
R
=
,
где r – парные коэффициенты корреляции между признаками.
Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до + 1, и его приближение к единице свидетельствует о сильной зависимости между рассматриваемыми признаками.