- •Практикум
- •1.2. Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты
- •1.3. Оценка эффективности инвестиций
- •1.4. Облигации
- •1.5. Доходность купли - продажи финансовых инструментов
- •1.6. Налоги и инфляция
- •Глава 2. Задачи по финансовой математике различной сложности
- •2.1. Задачи на сообразительность (задание №1)
- •2.2. Задачи средней сложности (задание № 2)
- •2.3. Задачи средней сложности (задание № 3)
- •2.4. Задачи повышенной сложности (задание № 4)
- •Примеры решения задач в excel
- •Литература
Практикум
ПО ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ
(автор Галиаскаров Ф.М.)
2012 г.
Глава 1. Основные формулы, применяемые в финансовых расчетах
1.1. Простые и сложные проценты
Под процентной ставкойпонимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.
Процентыразличаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используютпростые, при измененной -сложные процентные ставки.
Под наращенной суммойссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.
Наращение по простой процентной ставке:
, (1)
где S – наращенная сумма; P – первоначальная сумма, n – срок, r– ставка наращения (десятичная дробь).
Наращение по сложной процентной ставке:
, (2)
где j- сложная процентная ставка; n - число лет наращения,m– число начислений процентов в году.
Номинальная ставка– это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставкеj.
Эффективная ставка– это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке.
Наращение по непрерывной процентной ставке:
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста (). Сила ростахарактеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.
, (3)
Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам.
Термин дисконтированиеупотребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируетсяилиучитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называетсяучетом, а удержанные проценты -дисконтом
В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтированиеибанковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.
Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.
, (4)
Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.
, (5)
Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении .
Ставка Прямая задача Обратная задача
r(6)
d .
Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.
Определение срока ссуды и величины простой процентной ставки
Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:
, (7), (8)
По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:
, (9), (10)
Определение срока платежа и сложных процентных ставок.
Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:
, (11)
Поэтому же уравнению можно определить и сложную процентную ставку:
, (12)
Продолжительность срока платежа в годах при наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:
, (13)
Поэтому же уравнению можно определить и силе роста :
, (14)